ИнМu_lectures

Это определение корректно, т.е. имеет место

Предложение 9.1. Если {Ui}, {Uj′} — два покрытия X координатными окрестностями, {ρi}, {ρ′j} подчиненные им разбиения единицы, то

ZZ

XX

Доказательство. Умножим подынтегральное выражение в левой части равенства (9.5) на тождество 1 = Pρ′j. Получим на Kij = K ∩ (Ui ∩ Uj) равенство

ZZ

XX

аналогично, для правой части

ZZ

XX

2. Многообразие с краем

Расширим понятие гладкого многообразия, включив в него множества, задаваемые системой уравнений и неравенств.

Обозначим через Rn− полупространство

{x = (x1, . . . , xn) Rn, x1 6 0} .

Определение 9.2. Хаусдорфово топологическое пространство X называется многообразием с краем, если любая точка X имеет окрестность, гомеоморфную Rn, либо Rn−.

Пример 9.2. (Обобщение примера 9.1.) Замыкание в Rn любой области G

с гладкой границей есть многообразие с краем. Более точно,

G = {x Rn : ρ(x) < 0},

где ρ — гладкая функция в окрестности G и такая, что grad ρ ̸= 0 всюду на ∂G = {x : ρ(x) = 0}.

Определение 9.3. Точка p называется внутренней точкой многообразия X, если существует U(p) X, гомеоморфная Rn. Точка p называется граничной точкой многообразия X, если существует U(p) X, гомеоморфная Rn−.

Множество всех граничных точек X обозначается bX (или ∂X).

Как и для многообразий без края, на многообразиях с краем вводятся структуры гладких, и аналитических многообразий.

Функция перехода ϕαβ = ϕβ ◦ ϕ−α 1, определенная на

ϕα(Uα ∩ Uβ) → ϕβ(Uα ∩ Uβ)

называется гладкой (аналитической), если она продолжается до таковой в некоторую окрестность множества ϕα(Uα ∩ Uβ). При таком определении гладкости (аналитичности) многообразие с краем назовем гладким (аналитическим), если таковыми являются все соотношения соседства ϕαβ.

Заметим, что множество X \ bX является обычным многообразием (без края) размерности n, и мы можем задать на нем ориентацию, например, условием положительности формы степени p, нигде не равной нулю на

X \bX. Заметим также, что множество bX есть многообразие размерности на 1 меньшей, чем размерность X. Действительно, bX в локальной карте

Uα определяется уравнением xα1 = 0. Тогда в качестве атласа карт на bX

возьмем

Uα = Uα(x) ∩ bX,

а в качестве координат — координаты в Uα, начиная с xα2 . Определим понятие индуцированной ориентации на bX.

Рассмотрим произвольную окрестность U X. Пусть в U \ bX ориентация задана координатами x1, . . . , xn. Заметим, что p bX тогда и только тогда, когда x1 = 0, p X \ bX тогда и только тогда, когда x1 < 0. Тогда

U ∩ bX параметризуется координатами x2, . . . , xn. Они задают ориентацию края, которая и называется индуцированной.

Определение 9.4. Ориентация края U ∩ bX, определенная локальными координатами x2, . . . , xn, называется индуцированной с помощью ориентации многообразия U \ bX, определенной координатами x1, . . . , xn.

В этом случае также говорят, что ориентация края U ∩ bX согласована

с ориентацией многообразия U \ bX.

Лекция 10 ´

Теорема Стокса

Общая формула Стокса. Формула Ньютона-Лейбница как формула Стокса на прямой. Формулы Грина, ГауссаОстроградского и классическая формула Стокса как следствия общей формулы Стокса. Другие следствия из формулы Стокса

1. Формула Стокса

Рассмотрим гладкое многообразие X с краем bX, ориентация на котором согласована с ориентацией X (индуцирована ориентацией X). Справедлива следующая

Теорема 10.1 (Теорема Стокса). Пусть X — гладкое компактное n-мерное ориентируемое многообразие с краем bX, причем ориентация края индуцирована ориентацией X.

Тогда для всякой гладкой дифференциальной формы ω степени n − 1

на X справедлива формула Стокса

ZZ

Доказательство. По определению интеграла для любого покрытия {Ui} и

подчиненного ему разбиения единицы {ρi} имеем:

Z Z Z

В силу финитности aj(x) и того, что Ui ∩bX = , последний интеграл равен

Переходя в нем от кратного к повторному интегрированию и используя формулу Ньютона–Лейбница, получим, что

n-мерному многообразию без края равен нулю.

2)Пусть Ui∩bX ̸= . В этом случае Ui гомеоморфно Rn−. Левый интеграл

в(10.3) равен

Z

=a1(0, x2, . . . , xn)dx2 . . . dxn,

Rn−1

поскольку на bX переменная x1 = 0 и dx1 = 0. Для правой части (10.3) имеем:

3) Формула Стокса. Пусть ω = P dx + Qdy + Rdz и S — поверхность с краем bS. Тогда

Наиболее значительные следствия из формулы Стокса получаются применительно к специальным формам.

Утверждение 10.1 (Следствие 1). Интеграл точной формы по циклу равен нулю:

Утверждение 10.2 (Следствие 2). Интеграл замкнутой формы по границе

равен нулю:

Тема 4. Когомологии де Рама как

многомерная теория неопределенного интеграла

Лекция 11 ´

Когомологии де Рама

Замкнутые и точные формы, определение группы когомоло-

гий де Рама, пример замкнутой, но не точной формы (форма

Пуанкаре).

1. Когомологии де Рама многообразия X

Будем далее рассматривать многообразия и дифференциальные формы класса C∞, помня что если захотим рассматривать ω Ck, то дифференцирование понижает гладкость ω.

Обозначим через Cp(X) множество дифференциальных форм степени p

на многообразии X.

Определение 11.1. Дифференциальная Форма ω Cp(X) называется

замкнутой, если dω = 0. Форма ω Cp(X), p > 1, называется точной, если существует форма ϕ Cp−1(X), такая, что dϕ = ω. В этом случае

ϕ называется первообразной формы ω.

Обозначим через Zp(X) и Bp(X), соответственно, множество замкнутых и точных форм на X. Из свойства d2ω = 0 следует, что если форма ω точная, то она замкнутая, поэтому имеется цепочка вложений:

Все эти классы форм обладают структурой векторного пространства (они замкнуты относительно операций сложения и умножения на скаляр). Таким образом, Zp(X) и Bp(X) — векторные подпространства Cp(X).

Операция дифференцирования форм определяет следующую последовательность гомоморфизмов пространств когомологий:

Напомним, что последовательность гомоморфизмов

называется полуточной, если Im φi Ker φi+1 и точной, если Im φi =

Ker φi+1 для любого i. Очевидно, что

Zp(X) = {ω Cp(X) : dω = 0} = Ker dp,

где

dp : Cp(X) → Cp+1(X),

аналогично определяется

Bp(X) = {ω Cp(X) : ω = dϕ} = Im dp−1,

где

dp−1 : Cp−1(X) → Cp(X).

Учитывая (11.1), получаем, что последовательность гомоморфизмов (11.2) является полуточной.