ИнМu_lectures
.pdf∆ Кратное интегрирование. Когомологии |
141 |
Учитывая это, а также пользуясь Леммой 19.3, получаем:
x (V ) f, x = 0, f V ,
что равносильно |
\ |
\ |
|
x |
|||
f−1(0) x |
f−1(0) x V. |
||
|
f V |
f :f−1(0) V |
Лемма 19.4 доказана.
Доказательство леммы 19.1. Докажем прямую импликацию " ". Пусть p-цепь cp принадлежит Bp , т.е. cp = ∂cp+1 и f Zp. Тогда по определению сопряженного оператора ∂ ′ получаем:
f, cp = f, ∂cp+1 = ∂ ′f, cp+1 = 0, cp+1 = 0,
и импликация " " доказана.
Пусть теперь f, cp = 0 для любого f из Zp. В Лемме 19.4 положим,
V = Bp, E = Cp. Заметим, что в силу цепочки эквивалентностей
fBp f, cp = 0 , cp Bp f, ∂cp+1 = 0 , cp+1
∂ ′f, cp+1 = 0 , cp+1 f Zp,
справедливо равенство: Bp = Zp. Из Леммы 19.4 следует, что (Bp ) = Bp, а тогда из последних двух равенств получаем, что Zp = Bp . Но это означает, что ортогональными к Zp могут быть лишь цепи cp Bp , т.е. если для фиксированного cp действие f, cp = 0 при любом f из Zp, то cp
принадлежит Bp . Лемма 19.1 доказана.
4. Доказательство первой части теоремы двойственности
Как и в гомологиях, мы считаем функционалы f1 и f2 когомологичными (пишем f1 f2), если f1 − f2 = ∂ ′f.
Действия когомологичных функционалов на циклах cp Zp совпадают:
f1, cp − f2, cp = f1 − f2, cp = ∂ ′f, cp = f, ∂cp = 0.
142 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆
По усиленной форме теоремы де Рама:
Zp Bp ZDRp BDRp ,
каждый коцикл f Zp когомологичен некоторой дифференциальной форме. Поэтому если цепь cp ортогональна ZDRp , то она ортогональна всей абстрактной группе Zp. Отсюда, по Предложению 19.1 получаем достаточность свойства 1), следовательно, и все свойство 1) Теоремы 19.3 доказано.
В вопросах интегрирования чаще приходится использовать цепи с целочисленными коэффициентами. Выясним, как изменится свойство 1) в этом случае, для чего напомним несколько определений.
Определение 19.6. Говорят, что цикл zp Zp (X, Z) слабо гомологичен нулю, если существует целое n, такое что n · zp гомологичен нулю, то есть n · zp = ∂cp+1. Слабо гомологичные нулю циклы порождают подгруппу группы Hp (X, Z), которая называется подгруппой кручения. Фактор-группа
Hp (X, Z) подгруппа кручения называется группой слабых гомологий X.
Теперь рассмотрим следующее свойство:
1′) цикл zp Zp(X, Z) слабо гомологичен нулю тогда и только тогда, когда Rzp ωp = 0 для любой формы ωp из ZDRp .
Доказательство. Прямая импликация " " очевидна: как и для 1) пользуемся формулой Стокса.
Докажем импликацию " ". Если для любой формы ωp из ZDRp интеграл
R
zp ωp = 0, то согласно свойству 1) имеем: zp = ∂cp+1, где cp+1 принадлежит
Cp+1(X, R). Покажем, что на самом деле cp+1 принадлежит Cp+1(X, Q). Действительно, равенство zp = ∂cp+1 означает, что zp представим в виде:
zp = Xmjσj(p) = ∂ Xrk σk(p+1) , mj Z, rk R. (19.2)
Посмотрим на (19.2) как на соотношение, при котором mj Z заданы, а rk требуется найти. В силу того, что оператор ∂ дает только коэффициенты
±1 при взятии границ симплексов, (19.2) равносильно системе уравнений
∆ Кратное интегрирование. Когомологии |
|
|
|
143 |
||
A |
r...1 |
|
= |
m...1 |
|
, |
|
rs |
|
|
mq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где коэффициенты матрицы A равны ±1. Так как по доказанному последняя система имеет решение в классе вещественных коэффициентов, то по теореме Кронекера–Капелли и правилу Крамера она имеет и рациональное решение r = (r1, ..., rs). Таким образом, zp = ∂cp+1, где cp+1 Cp+1(X, Q). Но тогда n · zp = ∂c′p , где n — максимальный знаменатель рациональных чисел r1, ..., rs, и, тем самым, c′p = n · cp Cp+1(X, Z).
Свойство 1′) доказано.
Тема 6. Когомологии Чеха со значениями в пучке и вычисление некоторых интегралов
Лекция 20 ´
Пучки
Происхождение теории пучков. Подходы Чеха и Дольбо. По-
нятие пучков и основные операции над ними.
1. Происхождение: задача Миттаг-Леффлера
Пусть S – риманова поверхность, необязательно компактная, p –
точка на ней, z – локальная координата с началом в p. Главной частью
n
функции в точке p называется часть P akz−k ряда Лорана с отрицатель-
k=1
ными степенями. Если Op – локальное кольцо голоморфных функций и
Mp – поле мероморфных функций в окрестности точки p, то главная часть – это просто элемент факторгруппы Mp/Op. Задача МиттагЛеффлера состоит в том, чтобы определить, существует ли для заданного дискретного множества {pn} точек поверхности S и главных частей в точках pn мероморфная на S функция f, голоморфная вне {pn}, главные части которой во всех точках pn совпадают с заданными. Локально ответ на этот вопрос очевидным образом положителен, так что проблема состоит в том, чтобы перейти от локальных решений к глобальным. Изложим два подхода, каждый из которых приводит к теории когомологий.
Подход Чеха. Выберем такое покрытие U = {Uα} поверхности S открытыми множествами, что каждое из Uα содержит не более одной точки pn, и пусть fα – мероморфная функция на Uα, решающая задачу в Uα. Положим
fαβ = fα − fβ O(Uα ∩ Uβ).
В Uα ∩ Uβ ∩ Uγ имеем fαβ + fβγ + fγα = 0.
∆ Кратное интегрирование. Когомологии |
145 |
Решение задачи глобально равносильно нахождению таких функций
{gα O(Uα)}, что
fαβ = gβ − gα в Uα ∩ Uβ.
Если такие gα заданы, то f = fα + gα – глобально определенная функция, удовлетворяющая требуемым условиям, и обратно. В теории Чеха вводятся группы
{fαβ} : fαβ + fβγ + fγα = 0 = Z1(U, O),
fαβ : fαβ = gβ − gα для некоторых {gα O(Uα)} = B1(U, O),
и припятствием к глобальному решению задачи является первая группа когомологий Чеха
H1(U, O) = Z1(U, O)/B1(U, O).
Подход Дольбо. Как и выше, пусть fα – локальное решение на Uα, и пусть ρα – функция, равнвя 1 в окрестности точки pn Uα и имеющая
P
компактный носитель, содержащийся в Uα. Тогда ϕ = α ∂(ραfα) является
∂-замкнутой (0, 1)-формой на S класса C∞ (ϕ ≡ 0 в окрестности точки pn). Если ϕ = ∂η для некоторой η C∞(S), то функция
X
f = ραfα − η
α
решает поставленную задачу; таким образом, препятствие лежит в группе H∂0,1(S).
2. Пучки
Пусть задано топологическое пространство X.
Определение 20.1. Пучок F на X сопоставляет каждому открытому множеству U X группу F(U), называемую группой сечений F
над U, и каждой паре U V открытых множеств в X гомоморфизм rV,U : F(V) → F(U), называемый гомоморфизмом ограничения. При этом
146 |
И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆ |
должны выполняться следующие условия:
a) для любой тройки U V W открытых множеств
rW,U = rV,U · rW,V ;
b) для любой пары открытых множеств U, V X и сечений σ F(U),
τF(V), таких, что σ U∩V = τ U∩V , найдется такое сечение
ρ F(U V), что ρ U = σ, |
ρ V = τ; |
|
|
c) если σ F(U V) и σ U = σ V = 0, то σ = 0.
Заметим, что в силу соотношения a) можно вместо rV,U (σ) писать σ U . Пусть X – комплексное многообразие. Мероморфная функция f на открытом множестве U X локально задается как отношение двух голоморфных функций, т.е. для некоторого покрытия {Ui} множества U имеем
f Ui = gi/hi, где gi, hi взаимно просты в O(Ui) и gihj = gjhi в O(Ui ∩ Uj). В этом определении неявно использовано свойство факториальности ло-
кального кольца аналитических функций. Мероморфная функция, строго говоря, не является функцией, даже если считать ∞ ее значением: она не определена в точках, где gi = hi = 0. Пучок мероморфных функций на
X обозначается M; мультипликативный пучок мероморфных функций, не равных нулю тождественно, обозначается M .
3. Отображение пучков
α
Отображение пучков F −→ G на X задается набором таких гомоморфизмов {αU : F(U) → G(U)}U X, что для U V X гомоморфизмы
αU и αV коммутируют с отображениями ограничения. Ядро отображения
α : F → G есть пучок ker(α), определенный как
ker(α)(U) = ker(αU : F(U) → G(U)).
легко проверить, что это действительно пучок. Коядро определить сложнее: если положить
coker(α)(U) = G(U)/αU F(U),
∆ Кратное интегрирование. Когомологии |
147 |
то coker может не удовлетворять перечисленным выше условиям определения пучка.
Пример 20.1. Важным примером такой ситуации является отображение пучков
exp : O → O
√
на C \ {0}, переводящее f O(U) в e2π −1f O (U). Сечение z O (C \ {0}) не лежит в образе группы O(C \ {0}) при отображении exp, но его ограничение на любое стягиваемое подмножество U C \ {0} лежит в образе O(U).
Вместо этого определим сечение пучка coker(α) над U посредством задания открытого покрытия {Uα} множества U вместе с сечениями σα
G(Uα), такими, что для всех α, β
σα Uα∩Uβ − σβ Uα∩Uβ αUα∩Uβ (F(Uα ∩ Uβ));
мы будем отождествлять такие наборы {(Uα, σα)} и {(Uα′ , σα′ )}, если для всех p U и Uα, Uβ′ p найдутся такие V, что p V (Uα ∩ Uβ′ ) и
σα′ |
|
V − σβ′ |
V |
αV (F(V)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последовательность |
отображений пучков |
|||
|
|
|
|
|
α |
β |
|
|
|
|
|
0 −→ E −→ F −→ G −→ 0 |
называется точной, если E = ker(β), а G = coker(α); в этом случае говорят также, что E – подпучок в F, а G – факторпучок F по E (он обозначается
F/E). Более общо, последовательность
αn
. . . −→ Fn −→ Fn+1
называется точной, если αn+1 ◦ αn = 0
αn+1
−→ Fn+2 −→ . . .
и последовательность
0 −→ ker(αn) −→ Fn −→ ker(αn+1) −→ 0
точна для всех n. Заметим, что по нашему определению коядра отсюда не следует, что последовательность
αU βU
0 −→ E(U) −→ F(U) −→ G(U) −→ 0
148 |
И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆ |
точна для всех U, а следует только то, что эта последовательность точна в первых двух членах для всех U и что для любого сечения σ G(U) и
любой точки p U найдется такая окрестность V точки p в U, что σ V
лежит в образе βV .
Замечание 20.1. Пусть M N – подпространство и F – пучок на M. Тогда можно "продолжить F нулем" вне M и получить пучок Fe на N, полагая Fe(U) = F(U ∩ M) с очевидными отображениями ограничения. Значит, пучок F можно рассматривать как на M, так и на N.
Пример 20.2. На любом комплексном многообразии последовательность
i exp
0 −→ Z −→ O −→ O −→ 0
точна, где i — очевидное вложение, а exp — экспоненциальное отобра-
√
жение exp(f) = e2π −1f . Эта важнейшая последовательность называется
экспоненциальной последовательностью пучков
Пример 20.3. Пусть X — комплексное многообразие и V X — комплексное подмногообразие. Тогда пучок OV , продолженный нулем вне V , можно считать пучком на X. В этой ситуации последовательность
i r
0 −→ YV −→ OX −→ OV −→ 0,
где i – вложение, а r – отображение ограничения, точна.
Пример 20.4. По обычной лемме Пуанкаре последовательность
0 −→ R −→ C |
∞ |
d |
1 d |
2 |
. . . |
|
−→ A −→ A −→ |
|
точна на любом вещественном многообразии.
Пример 20.5. По ¯ лемме Пуанкаре последовательность
∂
|
¯ |
¯ |
0 −→ Ωp −→ Ap,0 |
∂ |
∂ |
−→ Ap,1 |
−→ Ap,2 −→ . . . |
точна на любом комплексном многообразии.
∆ Кратное интегрирование. Когомологии |
149 |
Пример 20.6. Пусть M — риманова поверхность. Обозначим через PP
i
факторпучок пучка M по подпучку O −→ M; тогда для открытого под-
множества U M
PP(U) = {(pn, fn)} : {pn} U
—дискретное множество точек, fn Mpn/Opn. Таким образом, задание сечения пучка PP над U равносильно постановке задачи Миттаг-Леффлера для U.
150 |
И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих ∆ |
Лекция 21 ´
Когомологии пучков
Коцепи пучков. Когомологии Чеха для пучков. Основная когомологическая последовательность. Тривиальность когомо-
логий для тонких пучков.
1. Коцепи
Пусть F – пучок на X и U = {Uα} – локально открытое покрытие. Положим
C0(U, F) = |
Y |
F(Uα), |
|
|
α |
Y |
|
C1(U, F) = |
F(Uα ∩ Uβ), |
|
|
α̸=β |
|
|
. . . . . . . . . |
Cp(U, F) = |
|
F(Uα0 ∩ . . . ∩ Uαp). |
α0 |
=α1̸=...̸=αp |
|
Элемент |
̸ |
Y |
|
|
σ = {σI F(∩Uik )}, |I| = p + 1
группы Cp(U, F) называется p-коцепью пучка F. Определим кограничный оператор
δ : Cp(U, F) → Cp+1(U, F)
формулой
p+1
(δσ)i0,...,ip+1 =
В частности, для
X
(−1)jσ ˆ |U ∩...∩U . i0,...,ij,...,ip+1 i0 ip
j=0
σ = {σU } C0(U, F) имеем (δσ)U,V = −σU + σV ,
а для
σ = {σU,V } C1(U, F) имеем (δσ)U,V,W = σUV + σV W − σUW .