ИнМu_lectures

Для каждого k {0, 1, . . . , n − 1} рассмотрим пересечение Lk = kF ∩ F k. Ясно, что

причем

L0 = nj=1Fj =: F, Ln−1 = ∩nj=1Fj =: Z.

Теперь определим следующие множества

Xk = Π \ (kF ∩ F k−1), Xk′ = Π \ F k,

для которых ввиду (25.14)

Xk Xk′ = Π \ Lk, Xk ∩ Xk′ = Π \ Lk−1.

Поэтому точная последовательность Майера-Виеториса, примененная к паре Xk, Xk′ , имеет вид

jk ∂k ik ′ jk

→ Hn+q+1(Π\Lk) → Hn+q(Π\Lk−1) → Hn+q(Xk) Hn+q(Xk) →, k = 1, . . . , n−1.

Такое семейство последовательностей определяет следующую последовательность гомоморфизмов групп гомологий:

∂1 ∂2 ∂n−1

Hn(Π \ F ) ← Hn+1(Π \ L1) ← ··· ← Hn+k(Π \ Lk) ← ··· ← H2n−1(Π \ Z).

Покажем, что класс гомологий [σ] цикла σ Hn(Π \ D) является образом класса [∂Π] H2n−1(Π \ Z) границы ∂Π:

определим цепь γik = σk−i+1 ∩ σk+2 ∩ ··· ∩ σn, причем для фиксированного k каждую такую цепь γik ориентируем так, чтобы цепь ωk = γ0k + γ1k +

···+ γkk была циклом (это возможно сделать, поскольку носитель |ωk| цепи

ωk составляет топологичекую границу грани σk+2 ∩ · · · ∩ σn ). Нетрудно проверить, что |ωk| Π \ Lk, т.е. [ωk] Hn+k(Π \ Lk). При этом

|γ0k| Π \ kF ∩ F k−1, |γ1k + · · · + γkk| Π \ F k.

Кроме того, ∂γ0k = γ0k−1 + γ1k−1 + · · · + γkk−−11 = ωk−1, и по определению связывающего гомоморфизма ∂k в последовательности Майера-Виеториса получаем

∂k[ωk] = [ωk−1].

Если теперь учесть, что ∂Π = ωn−1, σ = ω0, мы придем к равенству (25.15). Теперь заметим, что в Π \ Z

где Πa — это полиэдр {z Ua : |fj(z)| < ε, j = 1, . . . , n}. Семейство дивизоров F1,..., Fn автоматически согласовано с каждым полиэдром Πa, поэтому аналогично (25.15) для остова Γa имеем

что и доказывает (25.11).

4. Теорема о вычетах в полиэдре

Из теоремы 25.2 предыдущего пункта, на основании формулы Стокса, мы приходим к следующему варианту теоремы о вычетах.

Теорема 25.3. Пусть дивизоры Fj = {fj = 0} согласованы с полиэдром

Π, и пусть σ = ∂G1 × · · · × ∂Gn — остов полиэдра. Тогда справедлива формула

где суммирование ведется по всем точкам пересечения F1 ∩ · · · ∩ Fn в Π.

Лекция 26 ´

Метод разделяющих циклов в задачах вычисления несобственных интегралов (многомерная версия леммы Жордана)

Процедура замыкания циклов. Сведение интегралов к ло-

кальным вычетам.

1. Интегралы по остовам неограниченных полиэдров

с полюсами на дивизорах Fj = {z : fj(z) = 0}, j = 1, . . . , n. В предположении, что пересечение Z = F1 ∩ · · · ∩ Fn дискретно, для каждой точки a Z

определяется локальный вычет (вычет Гротендика) относительно системы дивизоров {Fj} как интеграл (см. лекцию 24)

лой окрестности Ua точки a, ориентация которого задается неравенством d(arg f1) · · · d(arg fn) > 0.

Заметим, что вычет Гротендика является простейшим среди возможных обобщений вычета Коши и допускает эффективное вычисление с помощью конечного числа коэффициентов разложения Тейлора в точке a функций f1,...,fn и h. В частности, когда f1,..., fn таковы, что якобиан ∂(f)/∂(z) в

С каждым мультииндексом J = {j1, . . . , js} {1, . . . , n} при 1 6 s 6 n свяжем (n, s − 1) – дифференциальную форму

Определение 26.2. Будем говорить, что дифференциальная форма ξJ

удовлетворяет условию Жордана на грани σJ0, где J0 = {1, . . . , n} \ J, если существует последовательность вещественных чисел Rk, сходящаяся к +∞ при k → ∞, такая, что

SRk ∩σJ0

где SR – сфера радиуса R с центром в некоторой точке остова σ = σ1...n

полиэдра Π.

3. Многомерная версия леммы Жордана

Здесь мы докажем следующий результат, полученный М.Пассаре, А. Цихом и О. Ждановым.

Теорема 26.1 (Многомерная версия леммы Жордана). . Если семейство дивизоров {Fj} согласовано с полиэдром Π и для каждого мультииндекса

J форма ξJ удовлетворяет условию Жордана на грани σJ0 , то

Заметим, что последовательность сфер SRk в лемме можно заменить любой другой последовательностью кусочно-гладких поверхностей такой, что области, ограниченные гранями полиэдра и поверхностями этой последовательности, исчерпывают весь полиэдр при R → ∞.

s = |J|. Мы полагаем, что ω = ω. Прямой подсчет показывает, что при

преобразуем последнюю сумму к виду

j I

и зафиксируем пару (J, k), где J есть мультииндекс длины s − 1 и k J0. В интеграле в формуле (26.8), который соответствует индексу J выделим слагаемые, содержащие функции ρi для i I = J {k}, т.е. интеграл

Z

XX

Здесь каждое слагаемое внешней суммы может быть записано в виде предела:

где BR есть шар радиуса R с центром в некоторой точке остова σ полиэдра

Π. Граница цепи σI0 ∩ BRk задается в виде

X

σI0 ∩ SRk + ±σ(I\i)0 ∩ BRk ,

i I

не пересекает полюсы подынтегральной функции, состоящие из семейства гиперплоскостей

aj, z + bj = −ν, ν = 0, 1, 2, . . . , j = 1, . . . , p.

Следует отметить, что один специальный класс многомерных интегралов (27.1) был рассмотрен Меллином в его знаменитой работе 1921 года, где с помощью этих интегралов он представил решение общего алгебраического уравнения (этому вопросу будет посвящена лекции 29).

В теории гипергеометрических функций наряду с интегральным подходом Меллина–Барнса существует другой интегральный подход, основанный на интегралах Эйлера, обобщающих интегральное представление бета–функции, а также подходы, в которых гипергеометрическая функция трактуется как сумма некоторых степенных рядов, либо как решение некоторых дифференциальных уравнений типа Фукса. В многомерной ситуации последние три подхода разрабатывались в работах Горна и Аппеля (ряды и уравнения), Меллина (уравнения), а начиная с 1987 года, используя комбинаторные идеи, в серии работ Гельфанда, Капранова, Зелевинского и других авторов все эти три подхода были в значительной мере развиты.

2. Представление интеграла Меллина–Барнса через сумму вычетов

Основой метода является принцип разделяющих циклов, сформулированный А.К. Цихом. В формулировке этого принципа речь идет о вычислении интегралов вида

∆g

где полюсы подынтегральной мероморфной формы ассоциированы с голоморфным собственным отображением

f= (f1, . . . , fn) : Cn → Cn,

амножество интегрирования ∆g есть остов полиэдра Πg, ассоциированного