ИнМu_lectures

Доказательство. Предложение следует из альтернирования в определении оператора. Прямое вычисление показывает, что

Далее мы будем рассматривать произвольные индексы, не обязательно возрастающие и с возможными повторениями. В этой связи мы будем считать, что форма меняет знак, когда любые два индекса меняются местами:

ωα0...αi...αj...αp = −ωα0...αj...αi...αp.

Такая договоренность согласуется с определением кограничного оператора, а именно

(δω)α0...αj...αk...αp = −(δω)α0...αk...αj...αp,

и также по определению δ

где r — естественное отображение, определяемое сужением, иногда называется обобщенной последовательностью Майера–Виеториса, и для нее справедлива следующая

Теорема 16.2. Последовательность (16.1) точная.

Доказательство. Очевидно, что E q(X) является ядром первого δ, поскольку ω C0(U, E q) — глобально определенная дифференциальная q- форма на X тогда и только тогда, когда ее компоненты совпадают на всех пересечениях.

Пусть {ρα} — разбиение единицы, подчиненное открытому покрытию

U. Определим линейный оператор

K : Cp(U, E q) −→ Cp−1(U, E q)

по правилу

X

откуда видно, что

(δKω)α0...αp = ωα0...αp − (δKω)α0...αp.

Следовательно, δK + Kδ = IdCp(U, E q), т.е. K есть оператор гомотопии. Тогда если δω = 0, то ω = δKω. Вместе с доказанным выше предложением этот факт выражает, что последовательность (16.1) точна, и значит когомологии этого дифференциального комплекса относительно оператора δ тривиальны.

Определение 16.3. Элементы ядра кограничного оператора δ : Cp, q(U, E ) → Cp+1, q(U, E ) называются p-коциклами, а элементы его

образа — (p + 1)-кограницами.

Замечание 16.2. Заметим, что идея разбиения единицы не проходит в случае комплекса Чеха с постоянными коэффициентами:

0 −−→ R −−r→ C0(U, R) −−δ→ C1(U, R) −−δ→ . . . ,

введенного в п.1. В самом деле, в доказательстве теоремы 16.2 при конструировании оператора гомотопии K мы пользовались разбиением единицы, которое в случае вещественных коэффициентов вывело бы нас из класса кусочно-постоянных функций.

Лекция 17 ´

Доказательство теоремы де Рама

Двойной комплекс и его когомологии. Последовательность гомоморфизмов диагональных когомологий двойного комплекса. Доказательство теоремы де Рама.

1. Двойной комплекс Чеха–де Рама

Рассмотрим прямую сумму групп p-коцепей со значениями в пространстве дифференциальных форм степени q:

M

Cp(U, E q).

p, q≥0

Такая сумма имеет структуру двойного комплекса, поскольку по параметру q определен оператор дифференцирования d, а по параметру p — кограничный оператор δ:

d : Cp(U, E q) −→ Cp(U, E q+1),

δ : Cp(U, E q) −→ Cp+1(U, E q).

Этот двойной комплекс называется комплексом Чеха–де Рама (см. диаграмму 17.1). Заметим, что все квадраты в этой диаграмме коммутативны.

Важно отметить, что комплекс Чеха–де Рама отражает комбинаторные свойства покрытия и дифференциальные свойства многообразия, выраженные в терминах форм. Далее мы докажем, что для некоторых типов покрытий когомологии Чеха совпадают с когомологиями де Рама.

переводящий ω Zclosedp, q в dKω, корректно определен и индуцирует гомоморфизм

h : Hp, q −→ Hp−1, q+1.

Доказательство. Корректность определения гомоморфизма h очевидна. Для доказательства того факта, что h индуцирует гомоморфизм h групп

Пусть ω принадлежит Bclosedp, q . Это означает, что существует ϕ Cclosedp−1, q, такая, что ω = δϕ, dϕ = 0. Рассмотрим элемент Kω − ϕ in C, p−1(U, E )q,

для которого δ(Kω − ϕ) = ω − ω = 0. Из теоремы 16.2 следует, что существует ψ Cp−2, q(U, E ), такая, что δψ = Kω − ϕ и

h(ω) = d(ϕ + Kω − ϕ) = dϕ + dδψ = δdψ.

p−1, q+1

Следовательно, h(ω) Bclosed .

Предложение 17.2. Гомоморфизм h : Zclosed1, q −→ Zq(X), q ≥ 1, определенный как h(ω) = r−1(dKω), корректно определен и индуцирует гомоморфизм h : H1, q −→ HDq R.

Доказательство. Пусть ω Zclosed1, q , тогда очевидно, что дифференциальные формы в наборе dKω замкнуты и совпадают на каждом пересечении. Это означает, данный набор однозначно определяет глобальную форму h(ω) на X.

Если ω Bclosed1, q , то ω = δϕ, dϕ = 0, ϕ C0, q. Его образ dKω = d(Kω − ϕ). Выше мы показали, что dKω определяет глобальную форму, более того

δ(Kω−ϕ) = ω−ω = 0, следовательно Kω−ϕ также определяет глобальную форму ψ и h(ω) = dψ есть точная форма.

Напомним, что согласно определению 16.2, покрытие U = {Uα}α A многообразия X называется хорошим если все пересечения конечного числа открытых множеств Uα либо пусты, либо диффеоморфны Rn. Напонми также, что в предыдущей лекции мы сформулировали теорему де Рама, утверждающую, что если U есть хорошее покрытие X, то когомологии

де Рама X изоморфны когомологиям Чеха покрытия

HDp R(X) Hp(U, R).

2. Доказательство теоремы де Рама

Предложение 17.3. Если U — хорошее покрытие, то каждый гомоморфизм h : Hp, q −→ Hp−1, q+1, p ≥ 2, q ≥ 1 является изоморфизмом.

Доказательство. Пусть [θ] Hp−1, q+1, тогда любой представитель θ это-

p−1, q+1

го класса содержится в Zclosed и удовлетворяет условию dθ = 0, δθ = 0. Имея хорошее покрытие, мы можем применить лемму Пуанкаре и заклю-

чить, что θ = dψ, ψ Cp−1, q. Покажем, что [ω] = [δψ] есть прообраз [θ]. Для этого заметим, что dω = dδψ = δθ = 0 и δω = δ2ψ = 0, следовательно ω Zclosedp, q . Кроме того,

h(ω) = dKω = d(ψ + Kω − ψ) = θ + d(Kω − ψ).

ω −ω = 0 и существует ψ1 Cp−2, q такой, что Kω −ψ = δψ1, следовательно

θ−η = δϕ, dϕ = 0 для ϕ Cp−2, q+1, таким образом, ϕ = dτ, τ Cp−2, q и θ− η = dδτ. Это означает, что ω = h−1(θ −η) = 0. Следовательно, отображение h −1 корректно определено на классах и отображение h сюръективно.

Предположим теперь, что [ω] Hp, q и h ([ω]) = 0. Это значит, что для каждого представителя ω+δϕ Zclosedp, q , dϕ = 0 этого класса θ = h(ω+δϕ)

покрытие U — хорошее влечет, что θ′ = dη. Тогда ω + δϕ Bclosedp, q :

δ(K(ω + δϕ) − δη) = δKω + δKδϕ − δ2η = ω + δϕ and

d(K(ω + δϕ) − δη) = dK(ω + δϕ) − dδη = θ − δdη = θ − δθ′ = 0.

Это показывает, что [ω] = 0 и отображение h — инъекция.

Предложение 17.4. Если U — хорошее покрытие, то

h : H1, q−1 −→ HDq R(X), q ≥ 0 — изоморфизм.

Доказательство. Пусть [θ] HDq R(X), тогда элемент θ′ = r(θ) in C0, q, являющийся сужением глобальной формы, удовлетворяет условию dθ′ = 0. Тогда θ′ = dϕ, ϕ C0, q−1, так как покрытие хорошее. Рассмотрим ω = δϕ. Имеем

dKω = dKδϕ = d(ϕ − δKϕ) = θ′ − dδKϕ

и δKϕ получен сужением глобальной формы, так как δ(δKϕ) = 0. Следовательно, [ω] = h −1([θ]).

Если мы рассмотрим другой представитель η [θ], тогда θ − η есть точная глобальная форма и θ − η = dϕ, ϕ Bq−1(X). Прообраз

h −1([θ − η]) = [δr(ϕ)] = 0,

так как r(ϕ) является сужением глобальной формы и δr(ϕ) = 0. Следовательно, отображение h сюръективно.

Предположим, что [ω] H1, q−1 и h ([ω]) = 0. Тогда dK(ω + δϕ), dϕ = 0

определяет точную глобальную форму, следовательно K(ω + δϕ) также

определяет глобальную форму, и δK(ω + δϕ) = 0. Элемент ω + δϕ Zclosed1, q−1, следовательно δK(ω + δϕ) = ω + δϕ = 0 и [ω] = 0. Таким образом, h —

инъекция.

Доказательство теоремы де Рама. Утверждения, доказанные в теореме 16.2 и предложениях 17.3 и 17.4, фактически означают, что для любого n ≥ 0

Hp, 0 Hp−1, 1 · · · H1, p−1 HDnR(X).

Достаточно теперь заметить, что Zclosedp, 0 совпадает с ядром δ в Cp(U, R) и с образом этого оператора (или оператора r если n = 0) в Cp(U, R).

По этой причине Hp, 0 Hp(U, R) и HDp R(X) Hp(U, R).

Лекция 18 ´

"Абстрактные" когомологии симплициальных комплексов

Симплициальный комплекс, двойственный к нему комплекс. Абстрактные когомологии симплициального комплекса. Изоморфизм абстрактных когомологий и когомологий де Рама для гладких полиэдров.

1. Абстрактные когомологии симплициальных комплексов

Как известно, каждому симплициальному комплексу K сопоставляется последовательность граничных гомоморфизмов групп цепей этого комплекса (цепной комплекс):

Напомним, что элементами Cp являются формальные линейные комбинации симплексов размерности p из комплекса K и что граничный оператор

∂ обладает свойством: ∂2 = 0.

Будем рассматривать p-мерные цепи из Cp с коэффициентами из некоторой группы G, т. е.:

k

σ(p) = Xmi σi(p), m1, ..., mk G, σi(p) − p-симплекс.

i=1

Заметим, что если G – кольцо, то Cp можно рассматривать как G-модуль, если G – поле, то Cp имеет структуру векторного пространства.

Определение 18.1. Линейным функционалом на G-модуле Cp называется линейное отображение f : Cp → G, т. е. отображение со свойствами: f(σ1 + σ2) = f(σ1) + f(σ2) и f(kσ) = kf(σ), k G,

Определение 18.2. Множество линейных функционалов на Cp называется сопряженным (двойственным или дуальным)пространством к Cp

и обозначается Cp′ .

Действие f на σ будем также обозначать f(σ) = f, σ ; в этих обозначениях (18.1) примет вид :

Таким образом, мы имеем двойственный комплекс вида:

Это цепной комплекс, так как (∂ ′)2 = 0. В самом деле, для f Cp′−1 в силу (18.2) имеем:

(∂ ′)2f, σ(p+1) = ∂ ′f, ∂ σ(p+1) = f, ∂ 2σ(p+1) = 0.

Определение 18.3. Элементы сопряженного пространства Cp′ называются абстрактными коцепями.

Определение 18.4. Абстрактная коцепь f из Cp′ называется абстрактным коциклом, если ∂ ′f = 0.

Определение 18.5. Абстрактная коцепь f из Cp′ называется абстрактной кограницей (или коциклом, гомологичным нулю), если существует абстрактная коцепь g из Cp′−1, такая что ∂ ′g = f.

Введем следующие обозначения: под символом Zp(K) будем понимать множество абстрактных коциклов, а под символом Bp(K) - множество абстрактных кограниц симплициального комплекса K. Если f – абстрактная кограница: f = ∂ ′g, где g Cp′−1, то ∂ ′f = (∂ ′)2g = 0. Следовательно, множество абстрактных кограниц содержится в множестве абстрактных коциклов.

Определение 18.6. Фактор-группа Hp(K) := Zp(K) Bp(K) называется "абстрактной" группой когомологий симплициального комплекса K в

размерности p.