ИнМu_lectures

представляет собой непустой симплекс. Тогда в случае, когда γ σ

где res ω – кратный вычет подынтегрального выражения ω в

z(k)(1,...[j]...,p+1)

точке пересечения z(k) = z(k1, ..., kp) полярных гиперплоскостей

Применим эту теорему к сходящемуся интегралу (29.8), для которого, как легко видеть, ∆ = 0 и симплекс σ непуст. Вычислим этот интеграл

как сумму вычетов по всем точкам

z1 = −k1, . . . , zp = −kp,

в которых одновременно имеют полюсы Γ(z1),. . . ,Γ(zp). Если бы в (29.8) под интегралом присутствовало только произведение Γ(z1) . . . Γ(zp), то вычет в точке z = z(k) = (−k1, ..., −kp) равнялся бы числу (−1)|k|(k1! . . . kp!)−1. Поскольку вся остальная часть является голоморфной функцией (голоморфным весом) в точке z(k), истинный вычет равен произведению этого

числа на значение веса в точке z(k) (формула вычета в простом полюсе):

Значения | k |= 0 и | k |= 1 дают следующие слагаемые этого ряда:

µ

1 − n(x1 + . . . + xp).

Для преобразования слагаемых с | k |> 2 воспользуемся формулой Γ(τ + l) = (τ)lΓ(s), где (τ)l – символ Похгамера

(τ)l = τ(τ + 1) . . . (τ + l − 1), l N.

Напомним, что nk′ = n − nk, поэтому согласно этой формуле

Отсюда получаем формулу (30.2) для коэффициентов ряда (30.3).

2. Ряды Пюизо для y(x)

Здесь мы получим формулы для основного решения y(x) и его степени y(x)µ в виде рядов по дробным степеням (рядов Лорана-Пюизо) переменных x1,. . . ,xp. Поскольку в этих рядах присутствуют положительные и отрицательные степени переменных, эти ряды лорановские, дробность степеней подчеркивает, что они — ряды Пюизо, а благодаря специальному виду коэффициентов эти ряды имеют гипергеометрический тип Горна. Поэтому мы их называем рядами Лорана-Горна-Пюизо. Согласно теореме 30.1 таких формул p + 1 штук, одна из которых есть формула (30.1). Записанные в переменных x1,. . . ,xp, эти формулы не обладают свойством симметрии по отношению к формуле (30.1) и друг к другу. Чтобы достичь этой симметрии, введем переменный коэффициент x0 при старшей степени в уравнении (29.1), т.е. рассмотрим уравнение

переобозначив для единообразия записи степень n на n0. Нетрудно видеть, что основное решение y(x) уравнения (29.1) определяет следующее

xj, n0 nj. В частности, наряду с разложением (30.1) для

Доказательство. Для µ = 1 утверждение теоремы фактически было обосновано выше. Пусть теперь µ > 0 произвольно. Для интеграла (29.8), представляющего основное решение y(x) уравнения (29.1) применим теорему 30.1, взяв в качестве полярных плоскостей

µn − nn1 z1 − ... − nnp zp = −k1 z2 = −k2

· · ·

zp = −kp,

пересечения которых дают точки z(k) с координатами

· · ·

zp = −kp.

Сумма вычетов в z(k) подынтегрального выражения в (29.8) приводит к ряду

y(x)µ =

Литература

[1] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 2./ Б.В. Шабат

–Издательство: Лань, 2004. – 336 с.

[2]Ботт Р. Дифференциальные формы в алгебраической топологии / Р. Ботт, Л.В. Ту – М.: Наука, 1989, – 336 С.

[3]де Рам. Ж. Дифференцируемые многообразия/ Жорж де Рам – M.: URSS, 2006. – 249 с.

[4]Дубровин Б.А. Современная геометрия. Методы теории гомологий / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко – M.: URSS, 2001, 288 С.

[5]Цих А.К. Многомерные вычеты и их применение / А.К. Цих – Новосибирск: Наука, 1988 – 241 С.

[6]Южаков А.П. Элементы теории многомерных вычетов/ А.П. Южаков

–Красноярск: РИО КрасГУ, 1975. – 182 С.

[7]Бухштабер В.М. Торические действия в топологии и комбинаторике / В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов – М.: МЦНМО, 2004. – 271 С.

[8]Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко – М.: Факториал Пресс, 2000, 448 С.

[9]Нарасимхан Р. Анализ на вещественных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан – Издательство: Платон, 1997, 232 С.

[10]Федерер Г. Геометрическая теория меры /Г. Федерер – М.: Наука, 1987.–760 С.

¨

[11] Mellin H. Uber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy fur¨ die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen / H. Mellin // Acta Soc. Sci. Fennica. 1896. V. 21. №1. P. 1–115.

[12] Mellin H. Resolution´ de l’equation´ algebrique´ gen´erale´ a` l’aide de la fonction gamma / H. Mellin // C.R. Acad. Sci., Paris Ser´. I Math. 1921. V. 172. P. 658–661.

[13] Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных / В.С. Владимиров – М.: Наука, 1964.

[14] Passare M. A multidimensional Jordan residue lemma with an application to Mellin–Barnes integrals / М. Passare, А. Tsikh,

О. Zhdanov // Aspects Math. 1994. V. E 26, P. 233-241.

[15]Passare M., Tsikh A. Algebraic equations and hypergeometric series // In the book "The legacy of N.H. Abel". Berlin–Heidelberg: Springer Verlag, 2004, P. 653–672.

[16]Пассаре М. Кратные интегралы Меллина-Барнса как периоды многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями / М. Пассаре, А.К. Цих, A.A. Чешель // Теор. и матем. физика. 1996. Т. 109, №3. С. 381-394.

[17]Антипова И.А. Формулы обращения для многомерного преобразования Меллина и решения алгебраических уравнений / И.А. Антипова // Матем. Сб. 2007. - Т. 198. - № 4. - С. 3-20.

[18]Грауэрт Г. Теория пространств Штейна /Г. Грауэрт, Р. Реммерт. – М.:Наука, 1989.

[19]Знаменская О.В. Гомологический метод в вопросе штейновости квазиторических многообразий / О.В. Знаменская, А.К. Цих // Многомерн. комплексн. анализ: Межвузов. сб. – Красноярск: КрасГУ. 2002.

– С.48-57.