17.Теорема Гаусса для поля вектора поляризации. Теорема Гаусса для поля вектора электрического смещения. Связь между векторами d и e.

Электрическое поле, которое создается зарядами, не принадлежащими материалу диэлектрика, будем называть внешним или сторонним. Источники этого поля находятся внутри диэлектрика или вне его. Заряды, находящиеся в диэлектрике, но не принадлежащие его материалу, также будем называть сторонними.

Под действием стороннего электрического поля диэлектрик поляризуется, появляется дипольный момент, как об этом сказано выше. Электрические диполи создают электрическое поле, которое накладывается на стороннее. Это поле создано зарядами, которые не могут свободно перемещаться в диэлектрике, поэтому их называют связанными, а поле электрических диполей – полем связанных зарядов.

Напряженность электрического поля в диэлектрике, согласно принципу суперпозиции (1.9), равна:

(4.7)

‑напряженность стороннего (внешнего) поля;

–напряженность поля, создаваемого связанными зарядами.

Чтобы количественно оценить напряженность электрического поля в диэлектрике, рассмотрим диэлектрик, находящийся между двумя бесконечными равномерно заряженными плоскостями с разноименными зарядами (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Поле, создаваемое плоскостями, это стороннее поле , см. (2.6):

^.

Диэлектрик между плоскостями будет поляризован.

В любом объеме, который будет во много раз больше размеров молекулы, будет содержаться большое число диполей; средний связанный положительный заряд равен среднему отрицательному, так как в одном, отдельно взятом диполе положительный заряд равен отрицательному. Следовательно, суммарный связанный заряд объема, примерно, равен нулю.

Однако на границах диэлектрика дело обстоит иначе: все диполи ориентированы по полю, поэтому на поверхности диэлектрика, прилежащей к положительно заряженной плоскости, будут расположены только отрицательные заряды диполей, а на поверхности, прилежащей к отрицательно заряженной плоскости – положительные заряды.

Иными словами, на границах поляризованного диэлектрика появляются отличные от нуля, поверхностные связанные заряды.

Найдем величину этих зарядов. Выделим в диэлектрике (рис. 4.4) цилиндр с площадью основания и высотойd, равной толщине диэлектрика. Цилиндр расположен так, что его основания находятся на правой и левой поверхностях диэлектрика. Суммарный дипольный момент этого цилиндра с одной стороны равен по (4.4):

где – объем цилиндра;

–поляризованность диэлектрика.

С другой стороны, по определению (4.1) модуль дипольного момента выделенного цилиндра:

где – модуль связанного заряда на торцах цилиндра.

Сравнивая два выражения для дипольного момента, получаем, что:

(4.8)

Учитывая (4.5), получим:

(4.8а)

Поле связанных зарядов, согласно (2.6), равно:

подставляя сюда из (4.8а), получим:

. (4.9)

Из рис. 4.4 видно, что поле связанных зарядов направлено навстречу внешнему полю. С учетом этого, из (4.7) для модуля напряженности поля в диэлектрике получим:

подставляя сюда из (4.9), имеем:

Выражая Е, получим:

Введем обозначение:

^, (4.10)

тогда для напряженности поля Е в диэлектрике имеем:

(4.11)

Величину  называют диэлектрической проницаемостью,  – величина безразмерная, как и . Диэлектрическая проницаемость – электрическая характеристика однородного и изотропного диэлектрика.

Термин изотропность означает одинаковость свойств по всем направлениям; изотропными являются газы, жидкости и аморфные вещества. У анизотропных диэлектриков, к ним относятся кристаллы, диэлектрические свойства различны по различным направлениям, и поэтому их электрические свойства нельзя учесть одной скалярной величиной. В этом случае вводят тензор диэлектрической проницаемости, который представляет собою совокупность девяти величин.

В свободном пространстве или вакууме диэлектрическая проницаемость  = 1. Физические процессы на Земле часто происходят не в вакууме, а в воздухе. Воздух – диэлектрик, диэлектрическая проницаемость его измерена:

,

для нормальных условий – , т.е. приближенно

Если электрические процессы происходят в диэлектрике, значения напряженности и потенциала поля меняются. Из формулы (4.11) видно, что в диэлектрике напряженность электрического поля между двумя бесконечными равномерно заряженными плоскостями равна:

, ^{а не как в вакууме.}

Аналогично меняются все остальные выражения: если в однородном и изотропном диэлектрике находится сторонний заряд. Напряженность электрического поля равна:

^{вместо (см. (1.6)).}

Потенциал:

^{вместо (3.4),}

т.е. во всех случаях электрические свойства однородной и изотропной среды учитываются тем, что в формулах заменяется на.

Для удобства при расчете электрических полей в диэлектрике вводится новая величина – вектор электрического смещения (или электрическая индукция):

. (4.12)

Используя формулы (4.8) и (4.8а), а также формулу (4.10) можно связать вектор электрического смещения с вектором напряженности электрического поляи вектором поляризации:

(4.12а)

В вакууме вектор равен нулю и вектор электрического смещения пропорционален вектору напряженности:

. 4.12б)

^{Напряженность электрического поля – физическая величина, силовая характеристика электрического поля. Вектор электрического смещения –} вспомогательная величина, введенная для удобства расчетов. Единица измерения – ^.

Удобство от введения вектора состоит в том, что его величина зависит лишь от распределения в пространствесвободных зарядов q.

Используя (2.3), (4.11) и (4.8) можно показать, что теорема Гаусса для вектора имеет следующий вид:

(4.13)

здесь – сумма свободных зарядов в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S.

Пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает некоторую часть изотропного диэлектрика.

При внесении диэлектрика во внешне электростатическое поле он поляризуется. Найдем заряд, который проходит через малый элемент dS замкнутой поверхности S (рис. 4).

Если ₊ и _  векторы, характеризующие смещение положительного и отрицательного связанных зарядов, то через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд dq₊^* =₊dSсos.

Согласно закону сохранения заряда одновременно через элемент dS внутрь поверхности S войдет отрицательный заряд dq_^*=_dSсos. Тогда суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS,

dq^*=₊dSсos+_dScos.

С учетом того, что =,для суммарного заряда получим

dq^*=dScos, (8)

где =₊ + _  расстояние, на которое сместились положительные и отрицательные связанные заряды изотропного диэлектрика друг относительно друга при поляризации. Поскольку = дипольный момент единицы объема диэлектрика, или Р =иdq^* = PdSсos, то суммарный связанный заряд

. (9)

Скалярное произведение в формуле (6.9) является элементарным потоком вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Интегрируя выражение (4.9) по всей замкнутой поверхности S, найдем полный заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого этой поверхностью, т. е.

q^* ==q^*. (10)

Внутри замкнутой поверхности S останется избыточный связанный заряд q^*. Таким образом, вышедший заряд равен оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду с обратным знаком.

Вывод: Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью,т. е.

= q^*. (11)

Следовательно, формула (11) выражает теорему Гаусса для вектора поляризации .

В дифференциальной форме теорема Гаусса для вектора поляризации записывается в виде

, (12)

т. е. дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда.

Замечание: объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика равна нулю при одновременном выполнении следующих условий:

1. внутри диэлектрика не должно быть сторонних зарядов ( = 0);

2) диэлектрик должен быть изотропным и однородным.