UChEBNOE_POSOBIE_TEOR_POLYa_MY

27

Если у Вас в процессе работы возникли вопросы, обратитесь к преподавателю за консультацией или изучите следующие разделы литературы:

§ 26–28

Теоретические основы электротехники: В 3– х т. Учебник для вузов. Том 3. – 4- е изд. / К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечу-

рин. – СПб. : Питер, 2003. – 377 с.

№ 21.1–21.24

Бессонов Л.А. ТОЭ: Электромагнитное поле. – М. : Высшая школа,

1966.

№ 2.1, 2.3–2.6, 2.9, 4.3, 10.3

Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля. – М. : Высш.

школа, 1989.

Занятие окончено.

Желаем успеха.

31

1

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 27

ТЕМА: МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА

2

Цель занятия

1.Научиться применять метод зеркальных изображений при расчёте статических и стационарных полей.

2.Научиться решать уравнения Лапласа и Пуассона при расчёте статических и стационарных полей.

3

1.Электрическое поле зарядов, расположенных вблизи границы двух сред, искажено наведёнными на границе раздела зарядами, распределение которых на поверхности границы неизвестно.

2.Для расчета электрических и магнитных полей при наличии вблизи зарядов или токов границы (плоской, цилиндрической, сферической форм) двух сред используют метод зеркальных изображений.

3.Метод зеркальных изображений основан на следствии теоремы единственности, согласно которому для области пространства, содержащей две различные среды, поле по одну сторону поверхности раздела сред не изменится, если перейти к однородной среде, поместив в неё фиктивный заряд так, чтобы сохранились граничные условия.

4

4. Расчёт поля в двух различных средах, разделённых границей, производят раздельно для каждой из сред.

Так, при расчёте поля в одной из сред, заменяют вторую среду первой, переходя к однородной среде, зеркально заданному заряду, вводят фиктивный заряд в область, где заменяется среда, величина которого определяется по исходному заряду и характеристикам сред из условия выполнения граничных условий.

Таким образом, действие неизвестных распределённых зарядов на границе сред заменяют действием эквивалентного сосредоточенного фиктивного заряда. При наличии нескольких заданных зарядов используют метод наложения.

32

5

5. Расчёт электростатического поля заряда при наличии плоской Q границы ε /ε .

6

10.Расчёт электрического поля тока I в среде γ при наличии плоской границы ε ⁄γ – см. кадры 5, 6 – ε → ∞; тогда I′ = I, I" = 0. Поле в среде γ (где течет ток I) определяется токами: истинным I и фиктивным I′.

11.Расчёт магнитного поля тока в среде µ 1 при наличии плоской границы µ 1/µ 2 и µ 2 → ∞ (ток в воздухе под ферромагнитной средой) – см. кадр 7 µ 2 → ∞; тогда I′ = I; I" = 0. Поле в среде µ 1 определяется токами: истинным I и фиктивным I′.

8

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1.В соответствии с исходной задачей рассчитать фиктивные заряды Q′, Q″ или фиктивные токи I′, I".

2.Рассчитать поле в среде расположения заданного заряда Q или тока I, как поле двух зарядов Q, Q′ или токов I, I′ (см. П.З. 25, 26).

3.Рассчитать поле в другой среде, как поле фиктивного заряда Q" или тока I.

4.Совместив полученные результаты расчёта по п.п. 2, 3, получить поле заданного заряда или тока.

5.Рассчитать остальные требуемые по условиям задачи величины. Примечание: при задании системы зарядов воспользоваться методом наложения.

11

ЗАДАЧА 1.2 На высоте h = 10-2 м над плоской

границей ε 1Eε 4 расположен заря-

женный провод l = 100 м, потенциал которого φτ = 100 В относительно точки 1. Найти заряд провода, его ёмкость, напря-

жённость Ē (х) в точке 2. Радиус провода r0 = 10-3 м, φ1 = 0.

Решить задачу самостоятельно. Если Вы получили τ = 2,06·10-9 Кл/м;

С = 2,06·10-9 Ф; Ē = -j14,84 В/м, то переходите к кадру 14, иначе (или для самоконтроля) прочтите кадры 12, 13.

12

13

Поле в среде ε2 определяется как поле заряда τ″:

τ″ = 1,6τ = 3,3·10-9 Кл/м.

14

ЗАДАЧА 1.3

В земле на расстоянии h = 2 м от поверхности расположен заземли-

Расчётная схема:

36

15

ЗАДАЧА 1.4 Параллельно безграничной плоскости

раздела двух сред µ 1 = 150, µ 2 = 50 расположены два провода радиусов r0 = 1 мм.

Рассчитать внешнюю индуктивность линии длиной l = 100 м.

16

17

18

ЗАДАЧА 1.5

Найти напряжённость магнитного поля в т. 1 h = 0,02 м.

в цилиндрической системе координат:

Найти φ(x, y, z) или φ(r, α, z) – это значит проинтегрировать уравнение Лапласа или Пуассона.

38

20

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1.Уточнить используемую систему координат (декартовую, цилиндрическую, сферическую), а также ввиду возможной симметрии поля независимость потенциала от тех или иных координат.

2.Записать уравнение Лапласа или Пуассона в зависимости от постановки задачи.

3.Произвести интегрирование уравнения Лапласа или Пуассона.

4.Определить постоянные интегрирования, воспользовавшись граничными условиями.

5.Записать выражение потенциала в функции координат системы, подставив найденные постоянные интегрирования.

21

ЗАДАЧА 2.1 Два плоских электрода расположены на

расстоянии d = 0,04 м друг от друга. Между

электродами распределён объёмный заряд

ρ 3 ∙ 10nε ∙ o Кл/м3.

Найти распределение потенциала и напряженности поля, а также их значения в

центре конденсатора p qE2 . Напряжение

между электродами U = 500 B; h >> d.

22

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2.1 1. Решение производим в декартовой системе координат. Пренебре-

гая краевым эффектом, считаем, что поле не зависит от координат х и z,

39

4. Постоянные интегрирования А1 и А2 найдём из граничных условий

Таким образом:

φ(50·105y3 – 4,5 ·103у + 500) В;

ЗАДАЧА 2.3 Рассчитать поле двухслойного цилиндрического конденсатора дли-

ной l и определить его ёмкость.

Заряд конденсатора -τ на единицу длины, потенциал при r = r2, φ|r2= о.

40