UChEBNOE_POSOBIE_TEOR_POLYa_MY

Графики D(r ), E(r ), ϕ(r )

Картина поля

E 10

−2

B

D 10−14

Кл

ϕ = const

R

R

ϕ

10−4 B

м

D, E

м2

D1 (r )

D2 (r )

E1 (r )

E2 (r )

r

r

−2

0

dS

ϕ1 (r )

r,10

м

r

14

Если Вы получили E =

τ

; ϕ =

τ

ln

rк

, то переходить к

2πεa r

2πεa

r

R

Для цилиндра радиуса r

по теореме Гаусса ∫ DdS = tL .

R

S

В то же время ∫

= D ∫ dS = D × 2prL .

DdS

S

S

Тогда D × 2prL = tL , откуда: D = τ ;

E =

τ .

τ

2pr

2πεar

R R

2.

ϕ = −∫ Edr + C = −

ln r + C , так как при r = rк ; ϕ = 0 , тогда:

C = τ

r

τ

2πεa

ln r ; j =

ln rк .

2pea

к

2pea

r

16

ЗАДАЧА 3

Рассчитать поле двухпроводной линии передач. Радиус проводов ли-

нии r0 =

50

=

50

~

расстояние

между проводами

d = 50 мм .

e3

2,723

= 2,5 мм ,

Определить линейную плотность зарядов линии τ . Найти распределение

потенциала ϕ (x , y ) ,

составляющих напряженности Ex (x, y)

и E y (x, y) .

Построить график Ex (x), Ey (x), ϕ(x) в плоскости xoz или y = 0 , принять

потенциал равным нулю в точках плоскости yoz при x = 0 ,

U12 = 1 кВ.

Найти емкость линии на единицу длины.

Q(x, y)

r1

r2

+τ

−τ

r0

12

j = + t ln 1

+ C

+ - t ln 1 + C

= t ln r2 + C .

a

1

2

2pe

r

2pe

r

2pe

r

1

2

1

Учтем условие j

r =r

= 0 , получим C = 0 .

Таким образом:

1

2

;

ϕ =

τ

r2

=

τ

(x −

d

)2 + y2

ln

ln

2

a

2πε

r1

2πε

d

2

2

(x

+

2

) + y

U12 = j1

x=−

d

+ r

- j2

x=

d

−r

=

τ

ln

d − r0

-

τ

ln

r0

=

τ

ln

d − r0

.

2

0

2

0

2pe

r0

2pe

d

- r0

pe

r0

y =0

y =0

18

Тогда линейная плотность заряда

t =

peU

=

pe U

103

= 9,2 ×10

−9

Кл

.

d −r0

0

12

= pe0

12

~

ln

3

3

м

r

0

Найдем распределение ϕ(x, y),

E(x, y) = i Ex + i E y ,

∂ϕ

∂ϕ

(x -

d

)2

+ y2

где

Ex = −

;

E y

= −

; j = 83,3ln

2

;

(x +

d

)2

∂x

∂y

+ y2

2

¶ϕ

2(x -

d

)

2(x +

d

)

2

2

Ex = -

= -83,3

-

;

(x -

d

)2

(x -

d

)2 + y2

¶x

+ y2

2

2

∂ϕ

2 y

2 y

Ex = −

= −83,3

−

.

∂y

d 2

2

d 2

2

(x −

)

+ y

(x +

)

+ y

2

2

Для построения графиков ϕ(x), Ex (x),

E y (x) при y = 0 (в плоскости,

где

расположены

провода)

полагаем

в

уравнениях ϕ(x, y)

, Ex (x, y) ,

Ey (x, y), y = 0

13

19

x −

d

1

1

Тогда ϕ = 166,7 ln

2

;

Ex = 166,7

−

; Ey = 0 . Так как

d

d

x +

d

x +

x −

2

2

2

x , м

0

d

d

− r

d

+ r

d

2d

4

2

0

2

0

ϕ, кВ

0

-0,183

-0,5

-0,5

-0,183

-0,085

E ,кВ

13,34

17,78

70,47

-70,46

-4,45

-0,9

м

E,

кВ

ϕ, кВ

м

E(x)

− d

−

d

ϕ(x)

d

x

2

2

d

Емкость C =

τL

=

πεL

= 9,2 пФ

(L = 1 м).

d −r

м

U12

ln

0

r

0