UChEBNOE_POSOBIE_TEOR_POLYa_MY
.pdf
|
|
|
|
|
6 |
|
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Установив симметрию поля по заданному току найти распреде- |
||||
→ |
→ |
→ → |
→ |
→ |
|
ление J |
и E в проводящей среде по уравнениям ∫ |
J dS = I и J |
= g E . |
||
|
s |
|
|
|
|
2.Используя уравнение Фарадея-Максвелла найти распределение потенциала.
Примечание: если задан потенциал или напряжение между телами, то расчет по п.п. 1.2 алгоритма вести в общем виде с последующим определением требуемых величин.
3.При необходимости рассчитать сопротивление или проводимость устройства.
7
ЗАДАЧА 1
Два металлических шара с радиусами r1 = 2 см и r2 = 4 см погружены глубоко в воду. Расстояние между шарами велико по сравнению с радиусами шаров.
Первый шар подключен к положительному полюсу источника постоянного напряжения, а второй – к отрицательному.
Найти напряжение источника питания и сопротивление воды между шарами источника. I = 0,1 A, удельная проводимость воды
g =1,66 ×10−3 См .
м
8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1 Для решения используем принцип аналогии (см. кадр 5 п. 4.1). Из
расчета электростатического поля заряженной сферы известно, что потен-
циал |
вне тела j = |
|
Q |
(при |
|
условии ϕ = 0 |
при r → ∞ ). Для ЭППТ |
||||||||||||||
4pear |
|
|
|||||||||||||||||||
ϕ = |
|
I |
. Учитывая что r1 |
<< d |
и r2 |
<< d , а также принцип наложения: |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
4πγr |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
j = |
|
I |
|
+ |
|
I |
|
; |
j |
2 |
= |
I |
+ |
I |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
4pgr1 4pgd |
|
|
4pgr2 |
|
4pgd |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
U12 = j1
R = U12
I
|
|
I |
|
1 |
1 |
|
|
0,1 |
|
|
102 |
|
102 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- j2 |
= |
|
|
- r |
= |
|
−3 |
2 |
- |
4 |
=120 |
В. |
|||||||
4pg r |
|
4p×1,66 ×10 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=120 = 1200 Ом – Сопротивление воды системы шаров.
0,1
9
ЗАДАЧА 2
Ток короткого замыкания I = 103 A проходит в землю через полусфе- рический заземлитель радиуса r0 = 0,5 м. Проводимость земли g = 10−2 См .
pм
Определить потенциал заземлителя относительно бесконечно уда- ленной точки и сопротивление растекания заземлителя.
Найти шаговые напряжения на расстоянии 20 м и 10 м от центра по- лусферы, если длина шага L Ш = 0,8 м.
10
Если Вы получили j3 =100 кВ, U Ш20 = 96 В, U Ш10 = 370 В, то пе- реходите к кадру 12. Иначе (или для самоконтроля) прочтите кадр 11.
11
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2 По аналогии с электростатикой (см. кадр 5 п. 4.1)
ЭСП |
D × 4pr2 = Q ; E = |
Q |
|
; j = |
|
|
Q |
|
( j = 0 при r ® ¥ ); |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4pea r |
2 |
|
|
|
4pea r |
|
|
||||
ЭППТ |
J × 4pr 2 = I ; |
E = |
|
I |
|
; |
j = |
I |
. |
||||
4pgr 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4pgr |
|||||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По алгоритму (см. кадр 6).
→→
1.∫s J dS = I .
Имея в виду полусферу (сферическая симметрия)
|
|
J × S1 |
|
|
|
|
= I ; J = |
|
I |
|
E = |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πγr 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
сферы |
|
|
|
|
|
|
|
|
2πr 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Потенциал заземлителя ϕ = |
∞ |
Edr = − |
I |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
= 100 |
|
|||||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кВ. |
||||||||||||||||||||||||
2πγ |
|
r |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Сопротивление заземлителя растеканию тока: R = j |
= 100 Ом. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
Шаговое напряжение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
I |
|
|
20,8 dr |
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
U 20 |
= ∫ 2 Edr = |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
= 96 |
В; |
||||||
|
|
2pg |
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
2 ×10−2 |
|
|
|
20,8 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
I |
|
10,8 dr |
|
|
|
|
|
103 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
U10 |
= ∫ 2 Edr = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
= 370 В. |
||||||||||
|
2pg |
|
r 2 |
2 |
×10−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
10,8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12
ЗАДАЧА 3 Определить ток утечки, сопротивление изоляции и мощность потерь
между жилой ( r1 = 4 мм) и оболочкой ( r2 = 8 мм) коаксиального кабеля
длиной L = 10 км, если удельное сопротивление диэлектрика r = 109 Ом× км (диэлектрик несовершенный), а напряжение между жилой и оболочкой
U = 600 B .
Указание: мощность потерь единицы объема проводящей среды
|
P = gE 2 = |
J 2 |
, |
|
g |
||
|
|
|
|
мощность потерь объёма |
|
|
|
|
ν → P = ∫ γE 2dν |
||
|
v |
|
|
или |
P = RI 2 . |
|
|
23
13
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3 Исходя из принципа аналогии уравнений ЭППТ и ЭСП, т.к. электри-
ческое смещение в диэлектрике коаксиального кабеля D = τ , то плот-
2pr
ность |
тока в |
несовершенном |
|
диэлектрике |
|
кабеля J = |
|
I |
|
|
; E = |
I |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2prL |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pgrL |
||||||
Напряжение между жилой и оболочкой U = ∫r2 Edr = |
|
|
I |
Ln |
r2 |
, откуда: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2pgL |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
ток утечки |
I = |
2pgUL |
= |
|
|
2pUL |
= |
2p ×600 ×10 |
4 |
|
= 0,054 А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ln |
2 |
|
|
|
r ×Ln |
2 |
|
|
|
|
109 Ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– |
сопротивление изоляции кабеля |
|
|
R = |
U |
= |
1 |
|
|
Ln |
r2 |
|
= 11032 Ом, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
2pgL r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
– |
мощность потерь |
P = RI 2 = |
1 |
|
|
Ln |
r2 |
× I 2 = 32,2 Вт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pgL |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2Ln |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
P = ∫ gE 2dV = ∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
× 2prdrL = |
1 |
= 32,2 |
Вт. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
1 |
2pgLr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pgL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решите задачу самостоятельно. |
|
|
|
|
C = 10−5 Ф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ёмкость плоского конденсатора с εr |
= 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определить ток утечки, сопротивление изоляции и мощность потерь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
между |
обкладками |
|
конденсатора |
при |
напряжении |
на |
|
конденсаторе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U = 1000 B , если удельная проводимость диэлектрика g =10 |
−14 См |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
I = 2,82 мкА; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
||||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R = 3,54 ×108 Ом;
P = 2,82 ×10−3 Вт.
24
15
РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА (МППТ) 1. Уравнение поля:
|
в интегральной форме |
|
|
в дифференциальной форме |
||||||||
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
∫L H dL = I |
|
|
|
|
|
rot H |
= J . |
||
Принцип непрерывности магнитного потока |
→ |
|
|
|||||||||
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
∫ B dS = 0 , |
|
|
|
|
div B |
|
|||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон полного тока |
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
||||
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫L H dL = I , |
→ |
|
→ |
|
rot H |
= J . |
|||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|||
|
Уравнение связи B = ma H = mrm0 H , |
|
|
|
||||||||
где |
H – |
напряженность магнитного поля, А/м; |
B – магнитная индукция, |
|||||||||
|
Тл = Вб / м2 ; Ф – |
магнитный ток, Вб; |
μa |
– абсолютная магнитная |
||||||||
|
проницаемость, Гн/м; μr |
– относительная магнитная проницаемость; |
||||||||||
|
μ0 – магнитная постоянная m0 = 4p×10−7 Гн/м. |
|||||||||||
|
2. Индуктивность устройств L = ψ , где ψ – полный поток (пото- |
|||||||||||
косцепление), Вб. |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
||||||||||
|
Взаимная индуктивность системы из двух устройств |
|||||||||||
|
|
|
|
|
M12 = ψ12 = M 21 = ψ21 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
I1 |
|
|
где |
ψ12 |
– |
потокосцепление |
первого устройства, вызванное током I2 |
||||||||
|
второго устройства, Вб; |
ψ21 – потокосцепление второго устройства, |
||||||||||
|
вызванное током I1 первого устройства, Вб. |
|||||||||||
|
3. Между уравнениями МППТ и ЭСП имеется аналогия: |
|||||||||||
|
|
|
→ → |
|
→ → |
|
|
→ |
→ |
|
|
|
МППТ |
∫ |
H dL = I ; |
∫ |
B dS |
= 0 ; |
B |
= μa H – |
вихревое поле. |
||||
|
|
L |
→ → |
s |
→ → |
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
= Q ; |
|
|
|
|||||
ЭСП |
|
E dL = 0 ; |
D dS |
D |
= εa E – |
потенциальное поле. |
||||||
|
|
L |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогия заключается в том, что в подобных геометрических полях силовые линии Е электрического поля соответствуют эквипотенциалям магнитного поля ϕм, эквипотенциали электрического поля ϕ = const соот- ветствуют силовым линиям Н магнитного поля.
25
17
4. Возможные пути расчета МППТ.
4.1Аналогия уравнений позволяет использовать результаты расчета электростатического поля аналогической геометрии с учетом сказанного в п. 3.
4.2Если магнитное поле обладает симметрией (как правило, цилиндри-
|
|
|
→ → |
|
ческой) можно воспользоваться уравнением ∫L H dL = I , выбрав кон- |
||||
тур таким, |
где H = const и совпадает с направлением обхода, тогда |
|||
H ∫ dL = I , |
H = |
I |
. |
|
|
||||
∫ dL |
||||
|
|
|
||
Алгоритм решения по п. 4.2.
1.Установив симметрию поля, по заданному току найти распреде-
→→
ление H и B по уравнениям:
→ → |
→ |
→ |
∫L H dL = I и B |
= μa H . |
|
→ →
Найти распределение магнитного потенциала ϕм = −∫L H dL+ c или напряжения U м .
2. При необходимости рассчитать собственную и взаимную индуктивности устройств.
18
ЗАДАЧА 5 Рассчитать магнитное поле коаксиально-
го кабеля – найти распределение H (r ) и B(r ). Определить магнитный поток в изоляции и индуктивность кабеля, вызванную магнитным потоком в изоляции. Ток кабеля I = 10 А, магнитная проницаемость изоляции и медных жил кабеля μa = μ0 , радиус внутренней жилы r1 = 2 мм, внешней радиус изоляции r2 = 4 мм, внешний радиус кабеля r3 = 5 мм.
26
19
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 5 Воспользуемся алгоритмом (см. кадр 17).
1. Поле коаксиального кабеля обладает цилиндрической симметрией, т.е. на цилиндрах, соосных с осью кабеля напряженность H и магнитная индукция B одинаковы и совпадают с направлением обхода окружности, образующей цилиндр.
Тогда по закону полного тока
|
|
|
® ® |
|
|
|
|
I′ |
|
|||
|
|
∫L H dL = I ; H = |
, |
|||||||||
|
|
2pr |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где I ′ – ток, охватываемый контуром интегрирования. |
||||||||||||
Для области 0 < r < r1 (внутренняя жила кабеля): |
||||||||||||
I ¢ = |
|
I |
|
pr 2 |
= |
r 2 |
× I = 2,5 ×106 r 2 А; |
|||||
|
|
|
r 2 |
|||||||||
|
pr 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
I′ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
H |
|
= |
= |
|
|
rI |
|
= 39788r А/м; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
2pr |
|
2pr12 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B1 = μa H1 = μ0H1 = 0,5r Тл.
Для области r1 < r < r2 (диэлектрик кабеля):
I ′ = I = 10 А;
H2 = I =1,59 1 А/м;
2pr r
B2 = 2 ×10-6 Тл. r
Магнитный поток
Ф = ∫ |
BdS = ∫r2 |
BLdr = 2 ×10-6 ∫4×10−3 |
dr |
= 2 ×10-6 Ln2 = 1,38 ×10-6 Bб , |
|
|
|||||
s |
r |
2×10 |
−3 |
r |
|
|
1 |
|
|||
при L = 1.
20
Для области r2 < r < r3 (внешняя жила): |
|
||||||||||||
I ¢ = I - p( r 2 - r22 ) × I = I × |
r32 - r 2 |
= (27,8 -1,1×106 r 2 ) |
А; |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
p( r 2 |
- r 2 ) |
|
r 2 |
- r 2 |
|
|
|||||
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
||||
H3 |
= |
I ¢ |
= |
I |
× |
r32 - r 2 |
= (5,55 ×10-6 - 0,22r 2 ) А/м. |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
2pr |
2pr r 2 |
- r 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|||
Для области r > r3 (пространство вне кабеля)
I ¢ = I - I = 0 ; H4 = 0 ; B4 = 0 .
2. Индуктивность кабеля
L = |
Ф |
= |
1,38 ×10−6 |
= 0,138 ×10−6 Гн. |
|
|
|||
вн |
I |
10 |
|
|
|
|
|||
21
ЗАДАЧА 6
Найти поток рамки АВ вызванный током I = 100 А двухпроводной линии передач. Длина рамки l = 4 м. Найти взаимную индуктивность ли-
нии и рамки.
28
22
Если Вы получили Ф = 7,94 ×10−6 Вб; M = 79,4 ×10−9 Гн, то переходите к кадру 24.
Иначе (или для самоконтроля) прочтите кадр 23.
23
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 6
1.Решение находим методом наложения,
атакже зная, что напряженность магнитного поля провода с током вне провода
|
|
|
|
|
|
|
H = |
|
|
I |
|
; B = m0 I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2pr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поток сквозь рамку, вызванный током ле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
вого провода: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rВ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ф1 = ∫ |
B dS = ∫rB m0I ldr |
= m0IlLn |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
rA 2pr |
|
2p |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично поток сквозь рамку, вызванный током правого провода |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = μ0 Il |
Ln |
rB |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2π |
|
rA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Суммарный поток сквозь рамку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
Il |
|
|
r¢ |
× r |
|
|
|
4p ×10 − 7 ×100 × 4 |
|
|
|
|
|
|
|
× 2,5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
×10− 6 Вб. |
|||||||||||||||||
Ф = Ф |
|
- Ф = |
|
|
Ln |
|
B |
= |
|
|
|
|
× Ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7,94 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
1 |
2p |
|
|
r¢ |
× r |
|
|
|
|
2p |
|
|
2 × |
|
2,5 |
2 |
+ |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
Взаимная индуктивность M = |
Фрамки |
= 79,4 ×10−9 Гн. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На кольцевой сердечник из ферромаг- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
нитного |
материала |
|
с |
|
μr = 1000 |
нанесены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
равномерно |
две |
|
однослойные |
обмотки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ω1 = 20 и ω2 = 200 . Определить собственную индуктивность каждой обмотки, взаимную индуктивность между обмотками М. Коэффициент связи K = 1 (потоком рассея-
29
ния пренебречь).
25
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 7 1. Считая, что магнитное поле сосредоточено в кольцевом сердеч-
нике, напряженность внутри сердечника
H |
1 |
= |
W1I |
; |
|
H |
2 |
|
= |
W2I |
; |
|
|
B = |
W1μa I |
|
; |
B = |
W2μa I |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2pr |
|
|
|
|
|
|
2pr |
1 |
|
|
|
|
2pr |
|
|
2 |
|
|
|
2pr |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Полный поток первой катушки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
d1 |
W m |
I |
W |
2m |
a |
Ih d |
||||||||||||||||||||
y1 |
= W1∫ B1 dS |
= W1∫ 2 |
|
|
1 a |
|
|
|
hdr = |
|
1 |
|
|
Ln |
1 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
2pr |
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
d2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Собственные индуктивности катушек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
L = y1 = |
W12mah |
Ln |
d1 |
= 1,15 ×10−5 Гн; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
L = |
y2 |
|
|
= |
W22ma h |
Ln |
d1 |
= 1,15×10−3 Гн. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Взаимная индуктивность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
M = k |
|
|
=1,15 ×10−4 Гн = 0,115 мГн. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L L |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26
ЗАДАЧА 8 Решите следующую задачу самостоятельно
Найти внутреннюю индуктивность провода длиной 1 км с током I = 100 A ,радиус r0 = 1мм, магнитная проницаемость провода μr = 500 .
Ответ: L = 25 мГн.
Указание: потокосцепление (полный поток) внутри проводника
y = ∫ dy = ∫ pr 2 dФ,
pr02
где dФ = BdS = μa HdS .
Внутри провода H = rI .
2pr02
30