Дифференциальное исчисление Производная

Производной функции y=f(x) точке х₀ называется предел отношения приращения функции Δy в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента Δх при произвольном стремлении Δх к нулю, то есть:

.

Выясним геометрический смысл производной.

Напомним, что касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.

, где -- угол наклона касательной к оси ОХ.

П

риΔх →0, точка М→М₀, секущая приближается к своему предельному положению – к касательной, то есть

.

Тогда , то есть производная в точкех₀ численно равна тангенсу угла касательной к графику кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀.

Для сложной функции справедливы формулы:

Примеры (см.задание V)

1)

2);

;

3)

.

Производные высших порядков

Пусть функция y=f(x) имеет производную f ^/(x). Допустим, что эта функция тоже имеет производную. Тогда первая производная от первой производной называется производной второго порядка:

y^//=(y^/)^/ или

.

Производная от второй производной, если она существует, называется третьей производной и т.д.

Пример

Найти , еслиy=x² lnx.

y^/=,

y^//=.

Исследование функции и построение графика

Исследование проведем по следующему плану:

1. Область определения функции (О.Д.З.)

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

х=0, y=?

y=0, x=?

3. Исследуем функцию на четность или нечетность.

Если область определения функции симметрична относительно х=0 и f(-x)=f(x), то функция четная и ее график симметричен относительно оси OY.

Если область определения функции симметрична относительно х=0 и f(-x)=-f(x), то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

Если не выполнены условия четности и нечестности, то функция общего вида, ее дальнейшее исследование проводим на всей оси О.Д.З.

4. Исследуем функцию на непрерывность, ищем точки разрыва, если они есть.

5. Асимптоты.

Асимптотой называется прямая, расстояние от которой до переменной точки графика стремится к нулю при удалении этой точки по графику от начала координат.

1. если х₀ -- есть точка разрыва функции II рода, то прямая х=х₀ есть вертикальная асимптота графика функции;

2. наклонные асимптоты графика имеют вид y=kx+b, где

и эти пределы конечны.

Если хотя бы один предел не существует или равен бесконечности, то график функции не имеет наклонных асимптот.

Е

слиk=0, b – конечное число, то y=b есть горизонтальная асимптота.

вертикальная

горизонтальная

наклонная

6. Интервалы монотонности. Экстремумы.

1. находим y^/(x);

2. находим критические точки из условия:

или не существует.

3. исследуем знак производной слева и справа от критических точек:

если непрерывна ина(a, b), то возрастает,

если , тоубывает.

Если производная при переходе через критическую точку х₀ меняет свой знак с «+» на «-», то х₀ – точка максимума, а если с «-» на «+» - точка минимума функции.

6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

График функции называется выпуклым (вогнутым) на (a, b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

вогнутый

выпуклый

1. находим ;

2. ищем критические точки второго рода – точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;

3. исследуем знак второй производной слева и справа от критических точек второго рода:

если функция дважды дифференцируема на и, то график функции на этом интервале вогнутый (выпуклый).

Точка графика непрерывной функции, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба графика функции.

4. ищем точки перегиба графика функции:

если при переходе через х₀ вторая производная меняет свой знак, то в точке с абсциссой х₀ график функции имеет точку перегиба.

8. При необходимости ищем несколько дополнительных точек.

9. Строим график функции.

Замечание. Рекомендуем начать построение графика функции со второго пункта предложенного плана.

Примеры (см. задание VI)

I. Исследовать функцию и построить ее график: .

1) прих, так как D=1-4=-3<0.

;

2) найдем точки пересечения графика с осями координат:

x=0, y=1;

y=0, x=- 0,5;

3) - функция общего вида;

4) функция непрерывна на , точек разрыва нет;

5) вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты:

,

.

Следовательно, y=0 – горизонтальная асимптота;

6) исследуем функцию на возрастание и убывание.

;

- критические точки.

Исследуем знак производной слева и справа от этих точек:

─

─

- точка минимума; y_min≈,

- точка максимума; .

7)

Критические точки второго рода найдем из уравнения: ;

;

Исследуем знак второй производной слева и справа от этих точек:

─

─

- абсциссы точек перегиба графика функции.

- ординаты точек перегиба графика функции

II. Исследовать функцию и построить ее график: .

1) ,;

2) найдем точки пересечения графика с осями координат:

x=0, y=1 - с осью ОY,

y=0, x=1 - c осью ОХ;

3) функция общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат;

4) х=-1 – точка разрыва второго рода, так как

5) а) х=-1 вертикальная асимптота, так как х=-1 – точка разрыва второго рода;

б) наклонные асимптоты:

.

Следовательно, y=0 – горизонтальная асимптота;

6) исследуем функцию на возрастание и убывание.

- критические точки.

Исследуем знак производной слева и справа от этих точек:

─

─

х=1 - точка минимума; y_min=y(1)=0,

x=5 - точка максимума; y_max=y(5)=;

7) исследуем функцию на выпуклость – вогнутость.

Критические точки второго рода найдем из уравнения:

;

Исследуем знак второй производной слева и справа от этих точек:

─

─

-- абсциссы точек перегиба графика функции.

- ординаты точек перегиба графика функции.

Y

X

5

1

0

-1