Прямая в пространстве

к

аноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точкуA₁(x₁, y₁, z₁), параллельно вектору .

-- направляющий вектор.

Замечание. Если обращается в ноль одна из координат направляющего вектора, например m , то уравнение прямой принимает вид:

-

это прямая, лежащая в плоскости x=x₁.

Если равны нулю две координаты направляющего вектора, например m=n=0, то уравнение прямой примет вид:

- эта прямая есть пересечение двух плоскостей x=x₁ и y=y₁, то есть параллельна оси OZ.

- уравнение прямой, проходящей через две точки .

Пример (см. задание 1.6)

Составим уравнение прямых А₁, А₂ и А₁А₃.

А₁(2, 0, 3), А₂(-1, 0, 8), А₃(0, 2, 4).

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

;

;

-- уравнение прямой A₁A₂.

Эта прямая лежит в плоскости (т.е. в плоскостиOXZ) и ее уравнение можно записать так:

.

Плоскость в пространстве

- уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору- нормали к плоскости.

-- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Если две плоскости заданы общими уравнениями:

то по уравнениям двух плоскостей можно определить их нормали .

На основании теоремы об углах, образованных взаимно перпендикулярными сторонами, один из углов между плоскостями можно определить как угол между нормалями по формуле:

.

Пример (см.задание 1.7)

Составить уравнение плоскости А₁А₂А₃, если А₁(2, 0, ,3), А₂(-1, 0, 8), А₃(0,2,4).

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

,

,

.

Раскроем определитель:

(x-2)∙0+y∙5∙(-2)+(z-3)∙(-3)∙2-(z-3)∙0-(x-2)∙2∙5-y∙(-3)∙1=0;

-10(x-2)-7y-6(z-3)=0;

-10x-7y-6z+38=0 –

уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Прямая и плоскость в пространстве

1. Острый угол между прямой

и плоскостью ,

определяется по формуле:

.

2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

Am+Bn+Cp=0.

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

.

Пример1 (см. задание 1.3)

Найти угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃, если А₁(2, 0, ,3), А₂(-1,0,8), А₃(0, 2, 4) А₄(0, 5, 6).

Решение.

1. Составим уравнение плоскости А₁А₂А₃, как плоскости, проходящей через три точки (мы сделали это в предыдущем примере). Уравнение плоскости А₁А₂А₃ имеет вид:

10x+7y+6z-38=0.

- нормаль к плоскости,

.

2. .

.

.

Пример 2(см. задание 1.8)

Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

1. Составим уравнение граниА₁А₂А₃ (мы составляли его ранее – см. предыдущий пример).

1

0x+7y+6z-38=0.

- нормаль к плоскости.

2. Составим уравнение высоты, опущенной изА₄.

Прямая плоскостиА₁А₂А₃, следовательно, нормаль к плоскости есть ее направляющий вектор

.

Используем каноническое уравнение прямой в пространстве:

, А₄(0, 5, 6).

-- уравнение высоты.

Введение в анализ

Пределы

1. Функция называется бесконечно малой при х→а , если .

2. Функция называется бесконечно большой при х→а, если она по модулю больше любого наперед заданного положительного числа.

Символическая запись:

.

3. Если f(x) – бесконечно большая функция при х→а, то -- бесконечно малая функция прих→а.

4. Если f(x)≠0 – бесконечно малая функция при х→а, то -- бесконечно большая функция прих→а.

Примеры

1) ,

2) ,

3) .

Неопределенность

Чтобы раскрыть неопределенность такого вида, надо числитель и знаменатель почленно разделить на неизвестное слагаемое в наивысшей степени.

Пример (см.задание IV.а)

.

Для контроля следует помнить:

1. если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел равен отношению старших коэффициентов (коэффициент при высших степенях);

2. если степень числителя выше степени знаменателя, то предел равен бесконечности;

3. если степень числителя ниже степени знаменателя, то предел равен нулю.

Неопределенность

1) ,

где P(x), Q(x) – многочлены.

В этом случае надо числитель и знаменатель разделить на (х-а) один или несколько раз.

Пример (см. задание IV. b)

тогда 2x²-11x+5=2(x-x₁)(x-x₂)=2(x-5)(x-1/2).

тогда x²-7x+10=(x-5)(x-2);

2) если и есть иррациональность, то числитель и знаменатель надо домножить на сопряженную величину.

Пример

3) первый замечательный предел:

позволяет раскрывать неопределенность .

Следствия:

Примеры (см. задание IV.c)

1. .

2. .

Неопределенность 1^∞

Неопределенность такого вида раскрывается с помощью второго замечательного предела:

.

Пример

Непрерывность функции в точке

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х=х₀, если выполнены условия:

1. функция определена в точке х=х₀ и в некоторой окрестности содержащей эту точку;

2. функция имеет предел в этой точке, то есть

(существуют и равны между собой односторонние пределы);

3. предел функции равен значению функции в этой точке:

.

Если нарушается хотя бы одно из этих условий, тогда х₀ – точка разрыва функции.

Если оба односторонних предела существуют и являются конечными числами, не выполнено третье условие, то х₀ – точка разрыва первого рода. Все остальные точки разрыва – второго рода.