Векторная алгебра Векторы

Вектором называется направленный отрезок прямой или упорядоченная пара точек (про которые известно, какая первая – начало, какая вторая – конец).

Обозначают: или.

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными: .

Если , то

1. - длина вектора;

2. ;

3. , k- число;

4. .

Если заданы две точки A(x₁, y₁, z₁) , B(x₂, y₂, z₂), то

1. 

2. если , тогда координаты точки С, делящей отрезок в заданном отношении, находится по формулам:

В частности, если С – середина отрезка, то

.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается:

. (1)

Если заданы координаты векторов , то

, -

координатная форма скалярного произведения.

Из (1) следует:

.

Пример (см. задание 1.1, 1.2 )

Даны точки А₁(1, -1, 2), А₂(2, 1, 3), А₃(-2, 4, 2).

Найти: 1) длины векторов ,

2) угол между ребрами .

Решение.

Найдем координаты векторов:

=(2-1, 1-(-1), 3-2)=(1, 2, 1),

=(-2, 4-(-1), 2-2)=(-3, 5, 0).

Тогда длины векторов:

,

,

.

Тогда .

Замечание.

Если получите cos =-a, где 0<a1 (a-const), то  = -arccos a.

Векторное произведение

Векторным произведением векторов иназывается вектор, обладающий следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. вектор направлен так, как направлен винт при вращении его по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого вектора ко второму.

Из определения следует:

1. ;

2. - площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

3. - площадь треугольника, построенного на векторах и.

Если заданы координаты векторов , то

или ,

где - единичные векторы на осях ОХ, ОY, OZ.

Пример (см.задание 1.4)

Найти площадь грани А₁А₂А₃, если А₁(-1,2,0), А₂(-2,0,4), А₃ (-3,3,0).

Решение.

.

Тогда .

.

Площадь грани равна:.

Ответ: .

Смешанное произведение

Если вектор умножить векторно на вектор, а потом получившийся векторскалярно умножить на вектор, то полученное число называетсясмешанным произведением трех векторов.

Обозначается: .

Если известны координаты векторов , то

.

Можно доказать, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах, т.е.

- объем параллелепипеда.

- объем пирамиды.

Пример (см.задание 1.5)

Найти объем пирамиды с вершинами А₁(0,-1,2), А₂(-1,0,6), А₃(-2,1,0), А₄(0,1,4).

Решение.

.

.

Тогда объем пирамиды:

.

Ответ: .

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости

- каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку A₁(x₁, y₁), параллельно вектору .

- направляющий вектор.

- уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки A(x₁, y₁), A(x₂, y₂).

y

-y₁=k(x-x₁) уравнение пучка прямых с центром A(x₁, y₁) и угловым коэффициентом k.

y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом.

A

(x-x₁)+B(y-y₁)=0 уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

- нормаль прямой.

После упрощения последнего уравнения получаем:

Ax+By+C=0 - общее уравнение прямой, где C=-(Ax₁+By₁).

Угловой коэффициент прямой находим по формуле .

Угол между двумя прямыми равен углу между их нормалями или направляющими векторами (см. скалярное произведение).

Если - угловые коэффициенты двух прямых, то

при - прямые параллельны,

при - прямые перпендикулярны.

Пример

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3, 4):

а) параллельно прямой 2x-5y+1=0,

b) перпендикулярно прямой 2x-5y+1=0.

Решение.

а) 2x-5y+1=0; .

.

Если прямые параллельны, то .

Используем уравнение y-y₁=k(x-x₁), где , М(3, 4).

y-4=(x-3);

5(y-4)=2(y-3);

2x+5y+14=0.

b) Если прямые перпендикулярны, то .

;

;

.