1.4 Структурные формулы кинематических цепей и механизмов

Структурными формулами называют­ся закономерности, связывающие число степеней свободы Н кинематической цепи механизма с числом звеньев и числом и видом его кинематических пар.

Положение звена, как твердого тела в пространстве, определяется шестью независимыми координатами. Так как основная система отсчета обычно связана со стойкой, то общее число координат, определяющее положение n подвижных звеньев, равно:

6n для пространственного механизма;

3n для плоского механизма.

Число накладываемых связей, следовательно, и число уравнений связи зависят от подвижности пар i и числа пар каждого вида p_i. Следовательно, общее число уравнений связи составит

Тогда число W степеней свободы пространственного механизма равно разности между общим числом координат подвижных звеньев и числом уравнений, связывающих эти координаты

,

или

(1.1)

Эта формула называется формулой Сомова-Малышева.

Для плоских механизмов кинематические пары могут быть одноподвижными (низшими) и двухподвижными (высшими). Тогда число W_П степеней свободы плоского механизма определяется по формуле Чебышева:

(1.2)

Структурные формулы (1.1) и (1.2) получены из предположения, что все уравнения связи независимы. Но не во всех механизмах это условие выполняется.

В общее число наложенных связей может войти q избыточных связей, которые не уменьшают подвижности механизма, обращая его в статически неопределимую систему. Тогда формулы (1.1) и (1.2) принимают вид

(1.3)

(1.4)

Из формул (1.3) и (1.4) получаем

(1.5)

(1.6)

При q =0 механизм представляет собой статически определимую систему и сбор­ка его происходит без деформации звень­ев, а при q >0 — статически неопределимую систему. Сборка и движение такого меха­низма происходят при деформации его звеньев.

Таким образом, при проектировании механизмов сле­дует выполнять два основных тре­бования. Во-первых, точность изготов­ления деталей и монтажа опорных и корпусных деталей должна быть определена из условия отсутствия защемления эле­ментов кинематических пар. Во-вторых, жесткость корпусных деталей должна быть достаточно высокой, чтобы исклю­чить возможность перекоса осей враще­ния кинематических пар и параллельного смещения осей шарниров или направляю­щих, обусловленных деформацией корпу­са. В противном случае появляется воз­можность защемления элементов кинема­тических пар и усиленного изнашивания пар трения.

Все механизмы, в том числе и плос­кие, при анализе и синтезе структуры должны рассматриваться как простран­ственные.

Рассмотрим рычажный четырехзвенный механизм (рис.11,а).

Рис. 11. Схемы к определению избыточных связей:

а– четырехзвенный механизм с одноподвижными парами;

б – четырехзвенный механизм с устраненными избыточными связями

В состав механизма входит три звена, образующие четыре одноподвижные вращательные пары: n=3; р₁=4.

Рассматривая механизм, как плоский, определим по формуле (1.2) число степеней свободы:

Если механизм рассматривать, как пространственный, то по формуле (1.1) получим:

Принимая требуемое значение подвижности механизма W=1, по формуле (1.5) определяем число избыточных связей:

,

т.е. в механизме имеются три избыточных связи. Устранение их достигается изменением подвижностей отдельных кинематических пар. Например, если вращательную пару В заменить трехподвижной сферической парой, а вращательную пару С – сферической парой с пальцем (рис.11,б), то избыточные связи в механизме будут отсутствовать и степень подвижности механизма станет равной

Устранение избыточных связей снижает требования к точности изготов­ления кинематических пар, способствует адаптации основания механизма к дефор­мациям и погрешностям монтажа.

Вряде случаев избыточные связи вво­дят специально для повышения жестко­сти механизма или устранения неопреде­ленности движения звеньев механизма в некоторых его положе-ниях. Примером этому может служить механизм сдвоенного параллелограмма (рис.12).

Для получения значения W=1 необходимо строгое соблюдение геометрических соотношений

AB = CD, BC = AD = EF, AE = DF,

и вы­сокой точности изготовления механизма. При этих условиях введение дополнитель­ного звена EF не вносит новых геометри­ческих связей. По формуле (1.2) степень подвижности механизма W = 0, а фактически W=1. Звено EF введено для увеличения жесткости механизма и не дает возможности во время его работы из механизма параллелограмма получить механизм антипараллелограмма.

В ряде случаев в механизм вводят лишние степени подвижности. Примером может служить установка в соединение между двумя звеньями шариковых и ро­ликовых подшипников, введение ролика между толкателем и кулачком и т.д. Их вводят в конструкцию механизма для то­го, чтобы уменьшить износ в кинематиче­ских парах.