- •Раздел 2
- •1. Дискретные одномерные
- •1.1. Закон распределения дсв. Функция распределения дсв
- •Свойства функции распределения
- •1.2. Числовые характеристики дсв
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •1.3. Законы распределения дсв
- •2. Непрерывные одномерные
- •Интегральная и дифференциальная функции распределения нсв
- •Свойства интегральной функции нсв
- •Свойства дифференциальной функции нсв
- •Числовые характеристики нсв
- •Законы распределения нсв
- •2.3.1. Равномерное распределение
- •2.3.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •2.3.3. Элементы теории надежности
- •2.3.4. Нормальное распределение
- •Свойства плотности вероятности нормального распределения
- •3. Моменты случайной величины
- •4. Закон больших чисел
Свойства плотности вероятности нормального распределения
Рассмотрим свойства плотности вероятности СВ X, распределенных по нормаль-ному закону с параметрамиaи.
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследуем функцию
, где>0.
методом дифференциального исчисления.
1). Функция определена на всей числовой оси Ox., т.е..
2). При всех значениях xфункция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена выше осиOx.
3). , т.е. осьOxслужит горизонтальной асимптотой графика.
4). Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:
.
Легко видеть, что приx=a,приx<a,приx>a.
Следовательно, при x=aфункция имеет максимум.
5). Разность xaсодержится в аналитическом выражении в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямойx=a.
6). Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:
.
Легко видеть, что при x1=aиx2=a+вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак. Причем значения функции в обеих точках равны. Таким образом, точки графика
и
являются точками перегиба.
Значит, график функции принимает вид
Как видно, на форму и расположение нормальной кривой влияют значения параметров aи.
Изменение величины параметра a (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ox: вправо, если a возрастает и влево, если a убывает.
С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ox; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Oy.
Выше было рассмотрено, как можно найти вероятность того, что СВ X, которая распределена по нормальному закону примет значение, принадлежащее интервалу (x1;x2), и связь с интегральной функцией Лапласа:
. (*)
Часто на практике требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ Xпо абсолютной величине меньше заданного положительного числа, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства.
Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством
или
.
Используя формулу (*), получаем
(функция Лапласа – нечетная)=.
Итак, окончательно получаем
. (2.16)
В частности, при
. (2.17)
Пример 2.10. Случайная величинаX распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия этой величины соответственно равны 20 и 100. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.
Решение.По условию. Следовательно,
.
Значение функции (0,3) находим по таблице значений интегральной функции Лапласа.
Далее мы рассмотрим так называемое правило «трех сигм».
Преобразуем формулу
,
положив . В итоге получим
.
Если и, следовательно,, то
.
т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27 % случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяется так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то имеются основания предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.