Dissertation

41

2.1.6. Расчет функций межатомного взаимодействия для системы Fe-H

Таким образом, учет многочастичного взаимодействия необходим при наличии в моделях дефектов кристаллического строения, особенно при наличии химически активных примесей, поскольку дополнительная электронная плотность в металлической матрице изменяет качественно и количественно взаимодействие между атомами самой матрицы. Поэтому преимущество применения потенциалов в ЕАМ приближении очевидно перед применением потенциалов парного взаимодействия. Между тем,

вычислительные затраты и популярность ЕАМ-подхода делают его наиболее предпочтительным для описания межатомного взаимодействия в моделях.

Внастоящее время в литературе можно встретить следующие ЕАМ потенциалы для системы Fe-H: [42, 111, 112]. Потенциалы [42] активно используются в настоящее время, однако, функции взаимодействия Fe-Fe

[42]по совокупности воспроизводимых параметров уступают [113], которые мы применяем в нашей работе. Применение потенциалов [111] не представляется возможным, т.к., вероятно, в публикации имеются опечатки в значениях коэффициентов функций.

Вданном разделе в приводимых ниже формулах расстояние выражено в ангстремах, энергия – в электронвольтах.

2.1.6.1. Подготовка потенциалов взаимодействия для однокомпонентных систем

Расчет взаимодействия Fe-Fe. Одной из особенностей поведения систем на основе чистого железа в процессе деформировании является снижение температуры полиморфного превращения α→γ, и при температурах ниже температуры фазового превращения α→γ могут наблюдаться одновременно две фазы [114]. Кроме того, имеются данные,

которые свидетельствует о том, что водород в матрице железа является

42

причиной появления фазы γ-Fe при комнатной температуре, и водородное

охрупчивание сопровождается индуцированным полиморфным

превращением [115, 116]. Состояния системы Fe-H при комнатной температуре слабо изучены из-за низкой растворимости водорода; из имеющихся данных по равновесной диаграмме состояния Fe-H можно сделать вывод, что при концентрациях ~0,5 ат. % водород снижает температуру полиморфного превращения железа α→γ до T ~ 500K [44]. Как следствие, возникает необходимость в моделировании систем, в которых возможно одновременное сосуществование двух фаз α-Fe и γ-Fe.

Моделирование таких систем чаще всего ограничено потенциалами межатомного взаимодействия, которые, будучи подогнанными к свойствам одной из фаз, оказываются неприспособленными к воспроизведению свойств другой фазы. Чамати и др. [113] получены потенциальные функции, которые удовлетворительно воспроизводят свойства как низкотемпературной α-фазы,

так и высокотемпературной γ-фазы железа. Поэтому для составления потенциальных функций для системы Fe-H мы применяем функции взаимодействия для чистого железа [113].

43

Функция атомной электронной плотности Fe (r), где аргументом

также является межатомное расстояние r , с подгоночными коэффициентами

A, 1 , 2 , r0(3) , r0(4) представлена в виде

Fe(r) [Aexp( 1(r r0(3) )2 ) exp( 2 (r r0(4) )2 )] r rc .

h

Авторами [113] предлагается самостоятельно вычислить значения данных коэффициентов.

44

Таблица 1 – Представленные в [113] коэффициенты функций взаимодействия Fe-Fe

каждый атом при расчёте тех или иных характеристик кристаллов,

получаемых как суперпозиция вкладов, рассчитываем вклад атома,

находящегося на расстоянии радиуса соответствующей координационной сферы и домножаем на координационное число. Таким образом, условие механического равновесия для кристаллической решетки будет выглядеть следующим образом

где производная берётся по параметру r, который может означать, к

примеру, параметр решётки или радиус первой координационной сферы в точке равновесного его значения r0, М – максимальный номер координационной сферы, радиус которой не превышает радиус обрезания потенциала, Ri - радиус i-й координационной сферы с координационным числом i . Аргумент Ri должен быть выражен в единицах r. Решая уравнение (4) с известным значением параметра решетки (радиуса первой координационной сферы), находим коэффициент E1 17493,17.

Коэффициент А находим из условия нормирования электронной плотности в узлах кристаллической решётки α-Fe (ОЦК-железо) на значение 1,0. То есть

M

(A,Ri ) 1,0.

i 1

Решая данное уравнение относительно A, находим A 1,1234 1082 .

Подгоночные коэффициенты F (0) , F (2) можно вычислить по известным значениям энергии связи и объёмного модуля упругости.

Поскольку в однородной равновесной кристаллической системе все атомы эквивалентны, и в каждом узле суммарная электронная плотность

равна 1,0, можно записать

Для решения уравнения (5) введем условие для объемного модуля упругости, который определяется как (см., например, [74])

46

B V dp , dV

где V – объём, p – давление. При абсолютном нуле энтропия постоянна,

поэтому внутренняя энергия связана с давлением термодинамическим тождеством dU pdV.

В [74] приведены коэффициенты упругости для ОЦК-железа C11 ,

C12 , C44 , используя которые найдём значение объёмного модуля

упругости:

C 2C 3

B 11 12 1,05эВ/А . 3

Коэффициент q1 найдем из граничного условия на функцию погружения Fi (0) 0. По личной переписке, Х. Чамати, один из авторов

[113], предоставил табулированные значения потенциала взаимодействия

Fe-Fe, что позволило составить дополнительное условие на

48

VH H (r) s(r){Emol (r) 2FH [ H (r)]} [1 s(r)] HH* (r),

Функция атомной электронной плотности H (r) с аргументом межатомного

Функция погружения с аргументом суммарной электронной плотности

в области расположения атома представлена как

FH ( ) (C5 2 C6 C7 (5/3) )/(C8 )

Коэффициенты приведенных функций межатомного взаимодействия

H-H представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Коэффициенты функций взаимодействия H-H [117, 42]

49

2.1.6.2. Методика расчета взаимодействия Fe-H

Для определения взаимодействия в бинарной системы Fe-H

необходимо знание потенциалов парного взаимодействия Fe-Fe, H-H, Fe-H,

функций электронной плотности для Fe, H, функций погружения для Fe, H.

Функции электронной плотности для моноатомных систем чаще всего берут из расчетов [118, 119], где приводятся данные функции для изолированных атомов, и корректируют их для адекватного воспроизведения

свойств связанной системы (например, кристалла) [81].

В задачах составления набора потенциальных функций для систем из двух и более компонент важным является тот факт, что функции атомной электронной плотности для моноатомных систем могут быть определены с

точностью до постоянного множителя H (r) при условии, что функции

используют (см., например, [113, 42]) для нормирования электронной плотности в узлах кристаллической решетки на значение 1,0. При составлении набора потенциальных функций для бинарной системы множитель должен быть учтен соответствующим образом.

Суть подгонки состоит в том, что в выбранном выражении для описания взаимодействия (например, формула Леннарда-Джонса 6-12)

варьируются подгоночные коэффициенты для получения наилучшего согласия воспроизводимых и требуемых величин. А именно, после каждого акта изменения подгоночных коэффициентов производится расчет параметров моделируемой системы методом молекулярной динамики. Таким образом выбирается наилучшая комбинация подгоночных коэффициентов,

которые позволяют наиболее точно воспроизвести требуемые термодинамические параметры.