Полагая определим выходной сигнал, как

7.15. Понятие об устойчивости линейных систем

Система является устойчивой, если после прекращения внешнего воздействия, она через некоторое время возвращается к тому состоянию равновесия или вынужденного движения, в котором находилась до начала воздействия.

Устойчивость линейной системы определяется ее структурой и параметрами, и не зависит от поступающих на систему сигналов.

Пусть система описывается дифференциальным уравнением

Решение его складывается из двух составляющих где общее решение однородного дифференциального уравнения без правой части, которое называют свободной или переходной со-

ставляющей, характеризует собственное движение системы под влиянием начальных условий частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью, это вынужденная составляющая.

Система называется асимптотически устойчивой, если с течением времени (при ) свободная составляющая будет стремиться к нулю, т. е. если

является решением однородного дифференциального уравнения

переходя к преобразованию Лапласа получим выражение

которое называют характеристическим уравнением системы.

Будем считать, что кратных корней нет, а корни характеристического уравнения либо вещественные , либо это комплексно-сопряженные пары

. Тогда решение уравнения

158

когда корни будут отрицательными числами. Графическое изображение отдельных составляющих представлено на рис. 7.19, а, где видно, что при процесс расходится.

Вторая группа слагаемых соответствует колебательным составляющим,

0

б

а

Рис. 7.19

Таким образом, для устойчивости линейной системы, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. При наличии хотя бы одного корня с положительной вещественной частью система неустойчива. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии нулевого корня или пары чисто мнимых корней, а остальные с отрицательной вещественной частью. Если присутствует пара мнимых корней, то будут незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой.

Корни характеристического уравнения, как и всякие комплексные числа, удобно представлять в виде точек на комплексной плоскости (рис. 7.20).

Если действительные части корней отрицательны, то соответствующие им точки на комплексной плоскости Р лежат слева от мнимой оси. Мнимая ось является границей устойчивости. На практике для упрощения вычислений устойчивость систем определяют с помощью некоторых критериев без вычисления корней характеристического уравнения.

159

ентов является необходимым, но недостаточным условием устойчивости.

Критерий Гурвица. Пусть характеристическое уравнение системы имеет

вид

Составим квадратную n×n матрицу из коэффициентов этого уравнения. Приведенная матрица называется матрицей Гурвица.

.

По главной диагонали располагаются все коэффициенты от до , вверх от диагонали индексы коэффициентов уменьшаются, а вниз – увели-

Это необходимое и достаточное условие устойчивости.

Если , а все предыдущие определители Гурвица положительны, то система находится на границе устойчивости в том случае, если или .

Первое условие соответствует наличию нулевого корня у характеристического уравнения (апериодическая граница устойчивости, нейтральная устойчивость), а второе — пары чисто мнимых корней(колебательная граница устойчивости).

Пример 7.7. Система состоит из трех последовательно соединенных апериодических звеньев. Определить условия, при которых система, замкнутая единичной обратной связью будет устойчивой. Структура системы приведена на рис. 7.21.

160

Рис. 7.21

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Выполняя преобразования, найдем характеристическое уравнение замкнутой системы .

Составим матрицу Гурвица и запишем условие устойчивости.

Очевидно, что и . Необходимо проверить выполнение условия . Подставим в него значения коэффициентов, тогда .

Разделим обе части неравенства на произведение

Каждое слагаемое в первой скобке умножим на , а во второй скобке разделим на . Выполняя преобразования, получим соотношение между параметрами системы, которое определяет устойчивость

Коэффициент усиления, при котором система теряет устойчивость называется граничным или предельным. Он определяется не абсолютной величиной постоянных времени , а их отношением.

Если , то . Если , то

Для обеспечения устойчивости системы при возможно большем коэффициенте усиления необходимо разносить постоянные времени входящих в нее звеньев.

161