chast_2_elektr_i_magnet

где S=ab − площадь контура.

Учитывая, что момент сил − величина векторная, (5.21) можно записать в виде

M = IS[nr, B]= [ISnr, B],

Величина Pm = ISnr называется магнитным моментом контура с

током.

На контур с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент сил

Можно доказать, что полученное соотношение выполняется для произвольного контура и произвольного поля.

5.8.2. Энергия контура с током в магнитном поле

Для того, чтобы увеличить угол α между векторами Pm и B

на dα нужно совершить работу против сил, действующих на контур. Ее величина, очевидно, равна

δA = M dα = Pm B sinα dα .

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии Епот контура, т.е.

dEпот = Pm B sinα dα ,

откуда

Eпот = ∫dEпот = −Pm B cosα + const .

В данном случае логично взять значение const=0, т.к. при cosα=0 мы имеем минимум потенциальной энергии, что соответствует положению устойчивого равновесия. Окончательно, энергия контура с током, находящегося в магнитном поле, равна

Ориентация контура, при которой Pm ↑↑ B , отвечает мини-

муму потенциальной энергии (Епот<0), что соответствует положению устойчивого равновесия.

Используя полученное соотношение, можно легко показать, что в случае неоднородного поля на контур действует отличная

63

от нуля сила. Действительно, пусть индукция магнитного поля изменяется только вдоль оси х. Так как F = −gradEпот, то в этом случае вдоль оси х на контур будет действовать сила

5.9. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме 5.9.1. Магнитный поток

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется физическая величина, равная

dФm = BdS = Bn dS = BdS cosα ,

где Bn = B cosα − проекция вектора B на направление нормали к

площадке dS (вектора nr), α − угол между векторами nr и B , dS = dSnr − вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадаетrс направлением нормали к площадке. Обычно поток век-

тора B связывают с определенным контуром с током. В этом случае направление вектора n связано с направлением тока в контуре правилом правого винта..

Магнитный поток через произвольную поверхность S равен

SS

ВСИ магнитный поток измеряется в веберах: 1 вебер (Вб) − магнитный поток сквозь плоскую поверхность единичной площади, расположенную перпендикулярно однородному магнит-

ному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл м2). Магнитный поток через поверхность, ограниченную замк-

нутым контуром, называется потокосцеплением Ψ этого контура. Например, потокосцепление рамки, состоящей из N витков будет равно Ψ=NФm, где Фm − поток через один виток.

5.9.2.Теорема Гаусса для магнитного поля

Втеории электромагнетизма доказывается, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

64

Формулы (5.25) и (5.26) показывают, что отсутствуют магнитные заряды и что линии магнитной индукции замкнуты. Следует ожидать, что эти соотношения выполняются не только для постоянных магнитных полей, но что они справедливы для любого магнитного поля. Все опытные факты подтверждают это заключение.

5.10. Работа по перемещению проводника и контура с током в однородном магнитном поле

5.10.1. Проводник с током

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера (5.18). Элементарная работа δА, совершаемая силой Ам-

В смешанном произведенииr можно делать циклическую перестановку векторов, т.е. (A,[B,C])= (C,[A, B]). Воспользуемся этим в

(5.27), тогда

рис.5.10), а dФm = BdS − магнитный поток сквозь эту площадку. При малом перемещении в магнитном поле проводника ко-

66

5.11.Действие магнитного поля на движущийся заряд

5.11.1.Сила Лоренца

Согласно закону Ампера, на элемент проводника, находящийся в магнитном поле, действует сила

dF = I[dl , B]= [Idl , B].

Заметим, что

I dl = jS dl = jS dl = j dV ,

где j − плотность тока в проводнике, S − площадь его поперечно-

где q и n − заряд и концентрация носителей тока в проводнике, аv − средняя скорость их движения. Мы получили силу, действующую на n частиц. Естественно предположить, что на каждую частицу действует сила

где vr − истинная скорость частицы.

Если тока в проводнике нет, то носители тока (электроны) движутся беспорядочно и равнодействующая на них сила (сила Ампера) равна нулю.

В общем случае, если на движущуюся частицу помимо магнитного поля с индукцией B действует и электрическое поле с напряженностью E , то результирующая сила (сила Лоренца) рав-

5.11.2. Движение заряженной частицы в магнитном поле

Пусть частица с зарядом q и массой m влетает в область, где существует постоянное магнитное поле, под углом α к линиям индукции. Представим скорость v частицы как сумму двух со-

67

ставляющих, − направленную вдоль поля v||=v cos α, и перпендикулярно полю v =v sin α. Тогда силу Лоренца, действующую на частицу, можно представить в виде

FЛ = q[vrΙΙ + vr , B]= q[vrΙΙ , B]+ q[vr , B]= q[vr , B],

т.е. составляющая скорости, параллельная полю, не вызывает появление магнитной силы.

Направление силы Лоренца перпендикулярно вектору скорости (траектории частицы), следовательно, сила Лоренца может изменять скорость только по направлению, а не по величине. Следовательно, движение частицы можно представить в виде суперпозиции: 1) равномерного прямолинейного движения частицы вдоль поля со скоростью v||=v cos α; 2) равномерного движения со скоростью v =v sin α по окружности в плоскости, перпендикулярной полю. Радиус окружности может быть найден из соотношений

В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось которой направлена параллельно магнитному полю (рис. 5.11). Время одного полного оборота (период)

Эта величина не зависит от скорости частицы, а определяется только величиной ее удельного заряда (q/m) и индукцией магнитного поля. На этом основано действие ускорителей заряженных частиц. Частота ωс называется циклотронной частотой.

Шаг спирали

ца движется в неоднородном магнитном поле, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то R и h уменьшаются с ростом В. Следовательно, частица движется по скручивающейся спирали, которая навивается на линию индукции магнитного поля. На этом принципе основана магнитная фокусировка пучков заряженных частиц.

5.11.3. Эффект Холла

тока и магнитного поля сила Лоренца направлена вверх (вдоль положительного направления оси OZ). Под действием силы FЛ

69

частицы будут отклоняться к верхней грани пластины, так что на ней будет накапливаться избыток зарядов того же знака, что и q, а на нижней грани − избыток зарядов противоположного знака. В результате этого в пластине возникнет поперечное электрическое поле, направленное сверху вниз, если q>0, и снизу вверх если q<0. Пусть Е − напряженность образовавшегося электрического поля. Сила qE , действующая на заряд q со стороны поперечного электрического поля, направлена в сторону, противоположную магнитной составляющей FЛ. В случае установившегося состоя-

ния сила Лоренца (5.31) равна нулю qE + q[vr, B]= 0 ,

откуда напряженность установившегося поперечного электрического поля в пластине

E = −[vv, B].

Разность потенциалов между точками А и В на гранях пластины будет равна U AB = vBa , но j=vqn, откуда v = qn1 j . Тогда

где R=1/(qn) − постоянная Холла.

Эффект Холла используется для исследования свойств металлов и полупроводников (определение природы носителей тока и их концентрации), также этот эффект лежит в основе принципа действия датчиков магнитного поля (датчиков Холла).

5.11.4. Ускорители заряженных частиц

а). Циклотрон − ускоритель тяжелых частиц (протонов, ионов). В основе конструкции циклотрона − два полых электрода в виде полых металлических полуцилиндров (дуантов). К дуантам приложено переменное (ускоряющее) электрическое поле, и они находятся в вакуумной камере в сильном однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости дуантов (рис.5.13).

70

Заряженные частицы вводятся в

В центр зазора между дуантами. В зазоре частица ускоряется электрическим и отклоняется магнитным полями. Войдя в дуант, частица описывает полуокружность, радиус которой пропорционален скорости частиц. Очевидно, условием ускорения частицы при каждом проходе зазора является равенство частот ω ус-

~U коряющего электрического поля и часРис. 5.13 тоты вращения частицы ωс. Согласно

(5.35), д

ω =ωс = mq B .

Если амплитуда напряжения между дуантами U0, а число проходов частицы ускоряющей разности потенциалов n, то максимальная энергия, приобретенная частицей, будет

Wmax = nU0q .

Максимально возможный радиус вращения частицы в магнитном поле (радиус дуантов) согласно (5.32) равен

R = mVqBmax ,

где Vmax − максимальная скорость частицы в циклотроне. Отсюда

При достижении энергии частиц до максимального значения на последнем витке пучок частиц посредством отклоняющего электрического поля выводится из циклотрона.

Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергии 20 МэВ. Дальнейшее их ускорение в циклотроне ограничивается релятивистским возрастанием массы со скоростью, что приводит к увеличению периода обращения (см. (5.33)), и синхронизм нарушается.

Однако, отмеченную проблему можно преодолеть, если синхронно с увеличением периода изменять либо частоту уско-

71

ряющего электрического, либо индукцию магнитного полей, либо и то и другое. Этот принцип используется в фазотроне, синхротроне и синхрофазотроне.

б). Фазотрон − отличается от циклотрона тем, что в нем управляющее магнитное поле постоянно, а частота ускоряющего электрического поля изменяется в фазе с изменением периода вращения частиц. В фазотроне частицы могут ускоряться до энергий 1 ГэВ.

в). Синхротрон − ускоритель ультрарелятивистских электронов, в котором управляющее магнитное поле изменяется во времени, а частота электрического поля постоянна.

г). Синхрофазотрон −ускоритель тяжелых заряженных частиц, в котором объединяются свойства фазотрона и синхротрона.

6. Магнитное поле в веществе 6.1. Магнитные моменты атомов

Согласно представлениям классической физики электрон в атоме движется по круговым орбитам. При этом каждый электрон эквивалентен круговому току. Сила орбитального тока

I=eν,

где ν − частота вращения электрона на орбите, е − его заряд. Орбитальному току соответствует магнитный момент pmе − орбитальный магнитный момент электрона.

pmе=IS=eνS. (6.1)

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим моментом импульса Le , модуль которого

где V=2πνr, πr2=S. Вектор Le называется орбитальным механи-

ческим моментом электрона.

Так как заряд электрона отрицательный, а за положительное направление тока выбрано направление движения положительных зарядов, то, очевидно, направления векторов Le и pm противоположны (см. рис.6.1). Сравнивая (6.1) и (6.2), получаем