chast_2_elektr_i_magnet

32

Цилиндрический конденсатор представляет из себя два коаксиальных проводящих цилиндра с радиусами R1 и R2, вложенных один в другой. Пусть высота цилиндров h и пространство между ними заполнено диэлектриком с проницаемостью ε. Предполагаем, что ширина зазора между цилиндрами много меньше их радиусов и высоты. Это дает возможность считать, что электрическое поле практически полностью локализовано в пространстве между цилиндрами.

Сообщаем цилиндрам заряды +q и −q с линейной плотностью λ=q/h. Используя соотношение (1.8) найдем разность потенциалов между обкладками

R1

в). Сферический конденсатор Сферический конденсатор представляет из себя две концен-

трические проводящие сферы с радиусами R1 и R2. Пусть пространство между сферами заполнено диэлектриком с проницаемостью ε . Сообщаем обкладкам заряды +q и −q. Очевидно, электрическое поле полностью локализовано в пространстве между сферами. Разность потенциалов между обкладками

3.2.3. Соединение конденсаторов

Конденсаторы часто соединяют в батареи. Соединение может быть параллельным и последовательным.

а) параллельное соединение.

При параллельном соединении (например, двух конденсаторов с емкостями С1 и С2) напряжения на конденсаторах одина-

33

ково U1=U2, общий заряд равен сумме зарядов конденсаторов q=q1+q2, откуда легко получить общую емкость батареи

С=С1+С2.

б) последовательное соединение.

В случае последовательного соединения (возьмем случай двух конденсаторов С1 и С2) заряды на конденсаторах равны q1=q2, общее напряжение на конденсаторах равно сумме напряжений на каждом из них U=U1+U2, откуда получается следующее выражение

1 = 1 + 1 .

С С1 С2

Доказательства полученных соотношений тривиальны, и читателю предлагается выполнить их самостоятельно.

Параллельное соединение применяется для увеличения емкости конденсатора, последовательное применяют тогда, когда во избежание пробоя большую разность потенциалов требуется распределить между несколькими конденсаторами.

3.3.Энергия заряженного уединенного проводника

Вп. 1.6. было показано, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна

где ϕ12 − потенциал, создаваемый зарядом 2 в точке, где находится заряд 1.

Очевидно, что q1ϕ12=q2ϕ21, поэтому энергию взаимодействия двух точечных зарядов можно представить в виде

W = 21 (q1ϕ12 + q2ϕ21 ).

Аналогично для системы из n точечных зарядов

где ϕij − потенциал, создаваемый j−м зарядом 2 в точке, где находится i−й заряд.

34

Введем обозначение ϕi = ∑ϕij − потенциал, создаваемый

j≠i

всеми зарядами, кроме qi в точке, где расположен заряд qi, тогда

При непрерывном распределении зарядов предположим, в элементе объема dV заряженного тела находится заряд dq=ρdV, а на его поверхности заряд dq=σdS. Для определения энергии взаимодействия элементарных зарядов dq между собой (энергии заряженного тела) можно воспользоваться формулой (3.3), перейдя в ней от суммы к интегралу, т.е.

Пусть есть заряженный уединенный проводник с зарядом q. В проводнике весь заряд расположен на поверхности, т.е. ρ=0, а ϕ=const, тогда из (3.4) и (3.1) получаем

В случае системы заряженных проводников

где qi − заряд, а ϕi − потенциал i−го проводника.

3.4.Энергия конденсатора. Объемная плотность энергии

3.4.1.Энергия конденсатора

Пусть в конденсаторе потенциал обкладки с зарядом +q равен ϕ1, а потенциал обкладки с зарядом −q равен ϕ2 . Тогда, согласно (3.6) энергия конденсатора будет равна

3.4.2.Объемная плотность энергии

Выразим энергию заряженного конденсатора через величину напряженности электрического поля.

36

Для появления электрического тока необходимо осуществление следующих условий:

1.Наличие в данной среде зарядов, которые могут перемещаться на большие расстояния, т.е. свободных зарядов. Носителями тока могут быть электроны, ионы, заряженные микрочастицы.

2.Наличие в данной среде электрического поля, энергия которого затрачивается на перемещение носителей тока.

Электрический ток, возникающий в проводнике вследствие того, что в нем создается электрическое поле, называется током проводимости.

Упорядоченное движение электрических зарядов можно осуществить перемещением в пространстве заряженных тел (например, лента электростатического генератора). Такой электрический ток называется конвекционным.

За направление тока условились считать направление движения заряженных частиц.

Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, называют линиями тока. Их направление совпадает с направлением тока.

Для количественной характеристики электрического тока служат сила тока и плотность тока.

4.1.1.Сила тока

Сила тока в проводнике равна величине заряда, проходящего в единицу времени через полное сечение проводника

Сила тока − скалярная величина.

Если сила тока и его направление с течением времени не меняется, то ток называют постоянным или стационарным.

Для постоянного тока сила тока одинакова в любых сечениях проводника.

Единица силы тока − 1 Ампер (А). Это одна из основных единиц СИ и определяется она через магнитное взаимодействие токов.

37

4.1.2.Плотность тока

Для характеристики силы тока в разных точках рассматриваемой поверхности и распределения силы тока на этой поверхности вводится вектор плотности тока.

Плотностью электрического тока проводимости называется вектор j, совпадающий с направлением электрического тока в данной точке и численно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности к площади этого элемента

здесь jn − проекция j на n.

Найдем, чему равна величина плотности тока j.

Выделим внутри проводника площадку с площадью S=1, расположенную перпендикулярно линиям тока, а, следовательно, перпендикулярно к вектору скорости направленного движения зарядов u.

педе. Пусть n − концентрация носителей тока в проводнике, тогда число носителей в выделенном объеме N=nuS=nu. Отсюда j=Nq=nqu, или

4.1.3.Уравнение непрерывности

Пусть S − замкнутая поверхность, а векторы dS ориентированы наружу от поверхности. Поток вектора j сквозь поверхность

S будет I = ∫ jdS = ∫ jndS .

S

В соответствии с законом сохранения заряда суммарный электрический заряд q, охватываемый поверхностью S, за время dt изменяется на dq=−Idt, откуда

Если поверхность S стационарна, то порядок дифференцирования и интегрирования в последнем выражении можно поменять местами. Тогда получаем

Уравнение (4.5) выражает закон сохранения заряда и называется уравнение непрерывности в интегральной форме.

Также несложно показать, что выполняется соотношение

39

которое называется уравнением непрерывности в дифференциальной форме.

4.2. Источники поля внутри проводника. Электродвижущая сила

4.2.1.Источники поля внутри проводника

Очевидно, что заряды на полюсах источника тока не могут создавать электрическое поле, заставляющее перемещаться заряды в проводнике, т.к. при очень длинных проводниках ( 100 км)

ствовать свободные заряды с поверхностной плотностью σ и, согласно (2.12), σ=ε0Еn. Эти заряды и являются источником поля в среде с отличной от нуля тангенциальной компонентой (рис.4.3), которое и обеспечивает наличие постоянного тока.

4.2.2.Электродвижущая сила

Поскольку, как показано в предыдущем параграфе, при наличие тока в проводнике тангенциальная составляющая вектора E отлична о нуля, то потенциал меняется вдоль проводника.

Поле внутри проводника создается постоянными неподвижными поверхностными зарядами, т.е. является потенциальным. Поэтому

41

участке цепи называется величина, численно равная работе, совершаемой электрическими и сторонними силами при перемещении по данному участку единичного положительного заряда

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным.

Если на участке цепи действует ЭДС, то такой участок на-

зывается неоднородным.

4.3.Закон Ома

4.3.1.Закон Ома для однородного участка цепи

Опыты показывают, что на однородном участке цепи, состоящей из металлического проводника, между силой тока и напряжением на участке существует связь, которая выражается законом Ома.

Сила тока на однородном участке цепи пропорциональна падению напряжения на участке

здесь R − электрическое сопротивление проводника, которое зависит от его формы, размеров и свойств материала, из которого изготовлен проводник.

Для однородного цилиндрического проводника

где l − длина проводника, S − площадь его поперечного сечения, ρ − удельное сопротивление материала проводника.

За единицу сопротивления в СИ принимается 1 Ом − сопротивление такого проводника, в котором при напряжении на нем в 1 В течет ток в 1 А.

Часто используется также величина σ=1/ρ − удельная проводимость материала проводника.

Для большинства металлов при нормальных условиях удельное сопротивление линейно зависит от температуры ρ Т.