chast_2_elektr_i_magnet
.pdf
42
Однако, при низких температурах (Т 0) наблюдается отклонение от этой закономерности. Для некоторых металлов (ртуть, свинец, олово, алюминий и др.) При температурах порядка нескольких Кельвин их удельное сопротивление скачком падает до нуля, и металл переходит в сверхпроводящее состояние.
4.3.2.Закон Ома в дифференциальной форме
Визотропном проводнике направление векторов j и E совпадают. Выделим в проводнике трубку
dS
j 
E 
dl
Рис.4.4
тока (поверхность, образованную линиями тока) в проводнике. Пусть площадь сечения ее dS а длина dl
(рис.4.4).
Ток через площадку dS будет
I=jdS.
С другой стороны
|
1 |
|
|
dl −1 |
(Edl)= |
EdS |
т.е. j = |
1 |
E =σE , |
|
I = |
|
U = |
ρ |
|
|
|
|
|||
R |
|
ρ |
ρ |
|||||||
|
|
|
dS |
|
|
|
||||
или в векторном виде получаем соотношение, называемое законом Ома в дифференциальной форме
j =σE . (4.11)
В выражении (4.4) получали, что плотность тока пропорциональна скорости направленного движения носителей тока. Сравнивая (4.11) с (4.4), получим, что скорость направленного движения зарядов пропорциональна напряженности Е, т.е. силе, сообщающей зарядам направленное движение. Отсюда ясно, что природа сопротивления металлов − торможение электронов при их соударениях с атомами кристаллической решетки металла.
4.3.3.Закон Ома для неоднородного участка цепи
Вслучае неоднородного участка цепи в выражении (4.11) наряду с электрическими силами, действующими на носители тока, необходимо учесть и сторонние силы, т.е. (4.11) необходимо переписать в следующем виде
j =σ(E + Eст ). |
(4.12) |
43
Рассмотрим малый участок проводника площадью сечения S.и длиной dl. Обозначим электрические и сторонние силы на выбранном участке через El и Естl. Используя (4.12), для плотности тока на выбранном участке можно записать
j = SI = ρ1 (El + Eстl ).
Умножая последнее выражение на dl и произведя интегрирование по участку 1−2 проводника, получаем
∫ |
Iρ dl = ∫ |
El dl + ∫Eстl dl . |
(4.13) |
2 |
2 |
2 |
|
1 |
S 1 |
1 |
|
Используя выражение (4.10) и замечая, что первый интеграл в правой части (4.13) − разность потенциалов между точками 1 и 2 проводника, а второй интеграл правой части − работа сторонних сил на участке 1−2, получим
IR =ϕ1 −ϕ2 + Е12 . |
(4.14) |
Это и есть закон Ома для неоднородного участка цепи. Здесь I − ток на участке 1−2, R − полное сопротивление участка 1−2, ϕ1−ϕ2 − разность потенциалов между точками 1 и 2, Е12 − ЭДС на участке 1−2.
Если цепь замкнута (точки 1 и 2 совпадают), то закон Ома
будет выглядеть следующим образом |
|
|
|||
I = |
Е |
|
, |
(4.15) |
|
R |
|||||
|
|
|
|||
здесь R − суммарное сопротивление всей цепи R=R0+r, где R0 − сопротивление внешней цепи, а r − внутреннее сопротивление источника ЭДС.
4.4. Правила Кирхгофа
На практике часто используются сложные разветвленные электрические цепи. Для нахождения силы тока в таких цепях применяют правила Кирхгофа.
Узлом (точкой разветвления) называется точка цепи, в которой сходится более чем два проводника.
Первое правило (следствие закона сохранения заряда).
Алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в узле, равна
44
нулю
∑Ii =0 . |
(4.16) |
Второе правило (следствие закона Ома для неоднородного участка цепи).
В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в контур
∑Ii Ri = ∑E j . |
(4.17) |
j |
|
Для того, чтобы найти значения токов во всех ветвях схемы с известными параметрами, необходимо выполнить следующие рекомендации.
1.Произвольным образом указать направление токов во всех ветвях данной схемы.
2.Записать уравнения по первому правилу Кирхгофа (4.16). Число таких уравнений должно быть на одно меньше, чем число узлов в схеме. Недостающие уравнения получают, используя второе правило Кирхгофа.
3.В схеме произвольным образом выбираются замкнутые контуры и направления их обхода. Число их равно числу недостающих уравнений.
4.Для каждого из выбранных контуров записывается уравнение (4.17). При этом если направление тока совпадает с направлением обхода, то данный ток берется со знаком”+”, в противном
случае выбирается знак “−”. ЭДС считаются положительными, если они создают ток в сторону обхода (при обходе встречается сначала “−” источника, а потом “+”).
В результате должны получить замкнутую систему линейных уравнений, решая которую, находим неизвестные токи во всех ветвях схемы.
4.5.Работа и мощность тока
4.5.1.Закон Джоуля−Ленца
Если между точками с разностью потенциалов U переносится заряд dq, то при этом совершается работа dA=Udq.
45
Пусть по проводнику протекает ток силы I, тогда dq=Idt и dA=IUdt.
Мощность, развиваемая током на этом участке
P = dA |
= IU . |
(4.18) |
dt |
|
|
Форма выделяемой при этом энергии зависит от природы физических факторов, обуславливающих падение потенциала. Это может быть и механическая работа (электродвигатель), и магнитная энергия, и тепловая энергия.
Если падение потенциала происходит на оммическом сопротивлении проводника, то вся энергия выделяется в виде тепла с мощностью
P=IU=I2R или δQ=I2Rdt. |
(4.19) |
Это выражение называется закон Джоуля−Ленца.
4.5.2.Дифференциальная форма закона Джоуля−Ленца
Применим закон Джоуля−Ленца к малому цилиндру длиной dl и площадью сечения dS, тогда получим
P = (jdS )2 ρ ddlS = j2 ρ(dSdl)= j2 ρdV .
Введем удельную мощность тока, равную количеству тепла, выделившемуся в единице объема в единицу времени
Руд = j2 ρ = σj2 .
Отсюда, используя закон Ома (4.11), получаем закон Джоуля−Ленца в дифференциальной форме
Руд =σЕ2 . |
(4.20) |
Можно также записать этот закон несколько в ином виде |
|
Руд = (j ,E). |
(4.21) |
4.6.Классическая теория электропроводности металлов
4.6.1.Опытные доказательства электронной проводимости металлов
Вметаллах носителями тока являются свободные электро-
46
ны, т.е. электроны слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Ионы в металлах не участвуют в переносе электричества. Если бы это было не так, то прохождение электрического тока через металл сопровождалось бы переносом вещества. На самом деле этого не наблюдается.
Доказательством данного факта служит опыт, проведенный немецким физиком Рике в 1901 г. Он в течении года пропускал ток через три поставленных друг на друга цилиндра − медный, алюминиевый и снова медный. Несмотря на то, что общий заряд, прошедший через эти цилиндры составлял 3,5 миллиона кулонов, никакого проникновения металлов друг в друга обнаружено не было.
Еще более убедительным доказательством того, что носителями тока в металлах являются электроны, стал опыт русских ученых Мандельштамма−Папалекси (идея и качественное воплощение в 1913 г., точные измерения были произведены Толменом и Стюартом в 1916 г.).
Суть опыта состояла в том, что катушка с большим числом витков тонкого провода, замкнутого на гальванометр, приводилась в быстрое вращение, а затем резко тормозилась. Для исключения индукционных токов устранялось влияние магнитного поля Земли.
Опыт показал, что при торможении в цепи возникал кратковременный импульс тока. Его направление соответствовало движению отрицательных зарядов. В эксперименте было измерено отношение заряда к массе носителей тока, и эта величина оказалась весьма близка к известному отношению e/m для электрона.
4.6.2. Основные положения классической теории электропроводности
Откуда в металлах берутся свободные электроны в металлах? При образовании кристаллической решетки валентные электроны, связь которых с атомами в металлах весьма слаба, отрываются от атомов и могут практически свободно перемещаться по всему объему вещества. В результате в металле возникает так называемый “электронный газ”.
47
Вотсутствии электрического поля электроны, подобно молекулам газа, движутся хаотично, испытывая столкновения между собой и между ионами кристаллической решетки.
Воснове классической теории электропроводности металлов лежат следующие положения:
•электроны рассматриваются как классический идеальный газ, для которого применимы известные из молекулярной физики законы статистики;
•электроны взаимодействуют между собой только в моменты соударений, которые считаются абсолютно упругими;
•соударения электронов с ионами кристаллической ре-
шетки являются абсолютно неупругими.
Используя эти положения и законы статистки идеальных газов, выводятся соотношения для средней длины свободного пробега электронов λ , среднеарифметической скорости их хаотичного движения v , среднего времени между последовательными столкновениями. А далее получают законы Ома и Джоуля−Ленца в дифференциальной форме (4.11) и (4.20). Проведенные численные оценки показывают, что λ 10−10м и v 105м/с.
Но из выражения для плотности тока (4.4) легко получить, что даже для самых сильных токов u 10−3м/с, т.е. скорость направленного движения электронов много меньше средней скорости их хаотичного теплового движения.
Недостатки классической электронной теории:
•из классической теории следует, что удельное сопротив-
ление металлов ρ 
Т , а эксперименты показывают, что
ρ Т;
•средняя длина свободного пробега электронов в металлах, рассчитанная по классической теории, оказывается в сотни;
•по классической теории теплоемкость металлов должна быть значительно больше, чем у диэлектриков, в дейст-
вительности эти величины одного порядка.
Все отмеченные противоречия классической теории экспе-
48
риментальным данным устраняются с помощью квантовой теории электропроводности.
4.7. Термоэлектронная эмиссия
Электроны проводимости металла могут, вследствие своего хаотичного движения, вылетать за пределы металлического тела. Поэтому у поверхности металла существует электронное облако.
Покидая поверхность металла, электрон индуцирует в поверхностном слое положительный заряд, притягивающий его обратно. В результате этого через некоторое время электрон вернется обратно в металл.
В итоге вблизи поверхности металла образуется облако отрицательного заряда, а на самой поверхности − индуцированный
положительный заряд, т.е. возникает двойной электрический слой с толщиной d 10−9÷10−10м.
Для того, чтобы удалить электроны из металла, нужно совершить работу по преодолению электрического поля двойного электрического слоя − работу выхода.
Работа выхода часто измеряется в электрон−вольтах (эВ). 1 эВ − работа, совершаемая при перемещении электрона
между точками с разностью потенциала 1 В: 1 эВ=1,6 10−19Кл 1
В=1,6 10−19 Дж.
При повышении температуры металла увеличивается кинетическая энергия теплового движения электронов. Она может стать настолько большой, что некоторые из электронов могут преодолеть задерживающий потенциал на границе металла и выходить наружу. Если в окружающем вакууме существует электрическое поле, направленное к поверхности металла, то оно будет увлекать вышедшие электроны, и через вакуум потечет электрический ток. Этот ток называется термоэлектронным, а само явление − термоэлектронной эмиссией.
Явление термоэлектронной эмиссии используется в электроннолучевых трубках, электронных лампах и других электрон- но-вакуумных приборах.
Для наблюдения термоэлектронной эмиссии удобна вакуумная лампа с двумя электродами − вакуумный диод. Катодом
49
лампы служит нить из тугоплавкого металла, накаливаемая электрическим током. Анод чаще всего имеет форму металлического цилиндра, окружающего накаливаемый катод. Если диод включить в электрическую цепь, показанную на рис.4.5, то при холодном катоде ток через лампу не пойдет. Если же нагреть катод до белого каления. При изменении полярности батареи ток прекращается. Это доказывает, что носителями тока через вакуум являются электроны.
|
μА |
А |
I |
T1 |
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
T2 |
+ |
|
|
|
T3 |
V |
|
|
|
|
− |
К |
|
|
|
|
|
|
T1>T2>T3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
Рис.4.5 |
|
|
Рис.4.6 |
|
Зависимость тока через диод от напряжения между катодом |
|||
и анодом (вольт−амперная характеристика (ВАХ)) для трех различных температур катода показана на рис.4.6. Эта зависимость имеет следующие особенности:
1.ВАХ вакуумного диода нелинейна, т.е. не выполняется закон Ома.
2.При U=0 I≠0, т.е. часть электронов достигает анода.
3.При малых токах имеет место следующая зависимость I U3/2 − закон Богуславского−Ленгмюра.
4.При больших напряжениях дальнейшее нарастание анодного тока прекращается, и он достигает своего максимального значе-
ния − тока насыщения. При этом все испущенные электроны достигают анода.
5. Плотность тока насыщения зависит от материала анода и увеличивается с повышением температуры последнего.
Часть II. МАГНЕТИЗМ
Сегодня нам совершенно ясно, что между магнитными и электрическими явлениями существует тесная взаимосвязь, од-
50
нако впервые её обнаружили лишь в первой половине XIX века. История же магнетизма своими корнями уходит к античным цивилизациям Малой Азии. Именно здесь, в Магнезии, находили горную породу, образцы которой притягивали друг друга. По названию местности такие образцы стали называть «магнитами», а все явления, связанные с ними − «магнитными явлениями».
5.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
5.1.Взаимодействие движущихся зарядов и токов
Известно, что взаимодействие неподвижных зарядов описывается законом Кулона. Возникает вопрос, − будут ли наблюдаться какие либо особенности при взаимодействии зарядов движущихся? Используя выводы специальной теории относительности и закон сохранения заряда можно показать, что взаимодействие движущихся зарядов осуществляется не только кулоновской силой, но также и силой другого типа, называемой магнитной. В случае движения зарядов с нерелятивистскими скоростями их магнитное взаимодействие много меньше кулоновского, поэтому экспериментально выделить магнитное взаимодействие на фоне электрического для дискретных зарядов очень сложно.
Электрическое и магнитное взаимодействия неразрывно связаны между собой и образуют электромагнитное взаимодействие. При специальном выборе системы отсчета сила взаимодействия зарядов может оказаться или чисто электрической, или чисто магнитной.
При взаимодействии зарядов, движущихся в проводниках (электрических токов), кулоновское взаимодействие отсутствует вследствие электрической нейтральности проводника, и тогда преобладающим становится магнитное взаимодействие.
В 1820 г. Ампер, исследуя взаимодействие проводников с током, установил, что сила f, приходящаяся на единицу длины двух параллельных проводников с токами I1 и I2, расположенных на расстоянии r друг от друга, удовлетворяет следующему соотношению
|
51 |
|
|
f |
I1I2 |
. |
(5.1) |
|
|||
|
r |
|
|
В соответствии с (5.1) в СИ устанавливается единица силы тока − ампер (А). 1А − это такая сила постоянного тока, который, протекая по двум прямолинейным параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывает между ними силу 2 10-7 Н на единицу длины.
В СИ соотношение (5.1) записывается в виде
f = |
μ0 |
|
2I1I2 |
, |
(5.2) |
|
4π r |
||||||
|
|
|
||||
где μ0 − магнитная постоянная.
Исходя из определения 1А, найдем численное значение μ0.
Подставляя в (5.2) значения I1=I2=1 А, r=1 м и f=1 Н/м, получаем
μ0=4π 10-7 Н/А2.
Как уже упоминалось выше электрические и магнитные явления неразрывно связаны между собой, поэтому существует связь между электрической ε0 и магнитной μ0 постоянными.
Можно показать, что ε0 μ0 = 1 , где с − скорость света в вакуу-
с2
ме.
5.2. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа
По аналогии с полевой трактовкой кулоновского взаимодействия, возникновение силы Ампера можно представить следующим образом: ток I1 рождает в окружающем пространстве магнитное поле; это магнитное поле действует на постоянные магниты или движущиеся заряды (ток I2).
Существование магнитного поля убедительно доказал в серии своих опытов по ориентирующему действию поля тока на магнитные стрелки Эрстед (1820 г.). Из опытов Эрстеда следует, что магнитное поле имеет направленный характер и, следовательно, должно характеризоваться векторной величиной. Эту величину называют магнитной индукцией и обозначают символом
B .