1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a0n + a1∑t = ∑y
a0∑t + a1∑t2 = ∑y • t
|
t |
y |
t2 |
y2 |
t y |
|
1 |
65,4 |
1 |
4277,16 |
65,4 |
|
2 |
68,3 |
4 |
4664,89 |
136,6 |
|
3 |
71,5 |
9 |
5112,25 |
214,5 |
|
4 |
74,3 |
16 |
5520,49 |
297,2 |
|
5 |
74,8 |
25 |
5595,04 |
374 |
|
6 |
76,6 |
36 |
5867,56 |
459,6 |
|
7 |
77,9 |
49 |
6068,41 |
545,3 |
|
8 |
82,3 |
64 |
6773,29 |
658,4 |
|
36 |
591,1 |
204 |
43879,09 |
2751 |
Для наших данных система уравнений имеет вид:
8a0 + 36a1 = 591.1
36a0 + 204a1 = 2751
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 64.132, a1 = 2.168
Уравнение тренда:
y = 2.168 t + 64.132
Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Коэффициент тренда b = 2.168 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 2.168.
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.
Стандартная ошибка уравнения.
где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
Uy = yn+L ± K
где
L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447
Точечный прогноз, t = 9: y (2013 год) = 2.17*9 + 64.13 = 83.64 млн. куб. м.
83.64 - 3.3 = 80.34 ; 83.64 + 3.3 = 86.94 млн. куб. м.
Интервальный прогноз:
t = 9: (80.34;86.94)
Точечный прогноз, t = 10: y (2014 год) = 2.17*10 + 64.13 = 85.81 млн. куб. м.
85.81 - 3.54 = 82.27 ; 85.81 + 3.54 = 89.35 млн. куб. м.
Интервальный прогноз:
t = 10: (82.27;89.35)
В 2012 по сравнению с 2011 выпуск товаров и услуг увеличился на 4.4 млн. куб. м. или на 5.65%
Максимальный прирост наблюдается в 2012 (4.4 млн. куб. м.)
Минимальный прирост зафиксирован в 2009 (0.5 млн. куб. м.)
Темп наращения показывает, что тенденция ряда возрастающая, что свидетельствует об ускорении выпуска товаров и услуг
В 2012 по сравнению с 2005 выпуск товаров и услуг увеличился на 16.9 млн. куб. м. или на 25.84%
Среднее значение выпуск товаров и услуг с 2005 по 2012 составило 73.89 млн. куб. м.
В среднем за весь период рост анализируемого показателя составил 1.03
В среднем с каждым периодом выпуск товаров и услуг увеличивался на 3%.
С каждым периодом выпуск товаров и услуг в среднем увеличивался на 2.41 млн. куб. м.