- •1.1. Ток, напряжение, мощность
- •1.2. Электрическая цепь, ее элементы и модели
- •1.3.Электрическая схема, топология электрической цепи
- •1.4. Законы Кирхгофа
- •L.5. Принцип эквивалентности. Преобразования электрических схем
- •1.6. Принцип наложения
- •1.7. Теорема замещения
- •1.8. Теорема об активном двухполюснике
- •1.9. Принцип дуальности
- •1.10. Теорема Телледжена . Баланс мощности
- •1.11. Метод законов Кирхгофа
- •1.12. Преобразование резистивных электрических цепей
- •1.13. Метод наложения
- •1.14. Метод контурных токов
- •1.15. Метод узловых потенциалов
- •1.16. Метод эквивалентного генератора
- •2.1. Гармонические колебания. Основные понятия и определения
- •2.2. Способы представления гармонических колебаний
- •2.3. Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных элементах
- •2.4. Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении r, l, с-элементов
- •2.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении r, l, с-элементов
- •2.6. Символический метод расчета разветвленных цепей
- •2.7. Электрические цепи с индуктивными связями
- •2.8 Трансформатор
- •2.9. Баланс мощности
- •2.10. Модели электрических цепей с зависимыми источниками
- •3.1. Комплексные передаточные функции линейных электрических цепей
- •3.2. Частотные характеристики последовательного колебательного контура
- •3.3. Частотные характеристики параллельного колебательного контура
- •3.4. Частотные характеристики связанных колебательных контуров
- •4.1. Общие положения
- •4.2. Уравнения передачи четырехполюсника
- •4.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников
- •4.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника
- •4.5. Характеристические параметры четырехполюсника
- •5.1. Классификация фильтров
- •5.2. Аппроксимация характеристик фильтров нижних частот
- •5.3. Реализация фильтров нижних частот
- •5.4. Переход от фильтров нижних частот к другим типам фильтров
- •5.5. Резонаторные фильтры
- •5.6. Постановка задачи синтеза
- •5.7. Условия физической реализуемости
- •5.8. Нормирование элементов и частоты
- •5.9. Чувствительность характеристик электрических цепей
4.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников
Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матричной форме. В частности, для системы уравнений в Y-параметрах (12.2)
Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехполюсники можно представить в виде различных соединений простых четырехполюсников. При этом параметры сложного четырехполюсника могут быть найдены по параметрам образующих его простых четырехполюсников.
На рис. 12.4 показана схема каскадного соединения двух четырехполюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при каскадном соединении Длякаждого из четырехполюсников можно составить матричные равенства:
Таким образом, матрица А результирующего четырехполюсника при каскадном соединении равна произведению одноименных матриц соединенных четырехполюсников: А = А'А". Это правило распространяется на любое число каскадно соединенных четырехполюсников, причем матрицы должны записываться в порядке следования четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.
При последовательном соединении двух (или большего числа) четырехполюсников (рис. 12.5) удобно пользоваться матрицами Z. Для этого вида соединения т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехполюсников в результирующем четырехполюснике складываются. Записывая уравнения передачи в Z-форме для каждого четырехполюсника
При последовательном соединении четырехполюсников матрица Z результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников: Z = Z' + Z".
Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.6), где и матрица Y результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников: Y = Y' + Y".
Матрицы F удобно применять при смешанном — последовательно-параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, а). При этом Н = Н' + Н".
Матрицы F удобно применять при параллельно-последовательном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, б). При этом F = F' + F".
Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассивным четырехполюсникам относят Г-, Т-, П- образные схемы (см. рис. 12.2, б —г), мостовые (см. рис. 12.2, а) и Т- перекрытые схемы (см. рис. 12.2, д). Можно получить, основываясь на матричных методах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если рассматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из соединений простейших четырехполюсников.
Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изображенные на рис. 12.8, а и 6. Для первого из них (рис. 12.8, а), пользуясь законами Кирхгофа, можно записать: и
I1=I2. Сравнивая эти уравнения с уравнениями в А-параметрах (12.4), можно записать матрицу А для такого четырехполюсника:
Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 12.8, б) имеем и поэтому
Другие матрицы — Z, Y и Н — могут быть легко получены из табл. 12.1. Заметим, что для первого простейшего четырехполюсника не существует Z-параметров, так как все они обращаются в бесконечность. По этой же причине для второго простейшего четырехполюсника не существует Y-параметров.
На рис. 12.9, а, б показаны соответственно прямое и скрещенное соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению соответствует матрица
Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюсников, изображенных на рис. 12.2. Г- образный четырехполюсник (рис. 12.2, б) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников, приведенных на рис. 12.8, а и б. Его матрица
А может быть получена перемножением вышеприведенных матриц простейших четырехполюсников:
Для Т- образного четырехполюсника (рис. 12.2, в) матрицу A можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение Г образной схемы с элементами Z1, и Z2 и простейшей схемы с элементом Z3 в продольном плече (рис. 12.8, а):
Для П- образной схемы (рис. 12.2, г), если ее представить в виде каскадного соединения простейшего четырехполюсника, изображенного на рис. 12.8, б и Г- образного четырехполюсника с элементами Z2 в продольном плече и Z3в поперечном плече, матрица
Зная А-параметры Г-, Т- и П- образных четырехполюсников, можно найти по табл. 12.1 другие системы параметров-коэффициентов.
Мостовой четырехполюсник (см. рис. 12.2, а) можно представить как параллельное соединение двух простейших четырехполюсников (рис. 12.10). При параллельном соединении следует пользоваться матрицами Y. Используя данные табл. 12.1, найдем по известным матрицам А простейших четырехполюсников (второй из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы Yи, просуммировав последние, получим результирующую матрицу Y мостового четырехполюсника. Матрицы Y простейших четырехполюсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором равны
Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры Т- перекрытого четырехполюсника (см. рис. 12.2, Э), рассматривая его как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с сопротивлением Z4 в продольном плече и Т- образного четырехполюсника.
Параметры зависимых источников. Системе уравнений в Y- naраметрах (12.2, б) можно сопоставить в соответствии с ЗТК схему с двумя зависимыми источниками типа ИТУН (рис. 12.11, а). Если положить то получим идеальный источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.7, б). Таким образом, Y-матрица идеального ИТУНа равна
Аналогичным образом системе уравнений (12.5) в Н-параметрах можно сопоставить согласно ЗНК схему с двумя зависимыми
источниками: ИНУН и ИТУН (рис. 12.11, б). Принимая
переходим к идеальному источнику тока, управляемому током (рис. 1.7, г). Его матрица Н имеет вид
Она может быть представлена схемой, показанной на рис. 12.11, г. При данная схема превращается в идеальный ИНУН (рис. 1.7, а). Следовательно,F-матрица ИНУН записывается в виде:
К числу простейших активных линейных четырехполюсников с зависимыми источниками относятся транзисторы и лампы, работающие в линейном режиме.
Чаще всего для транзисторов используют уравнения передачи в Н- или Y-параметрах. Иногда используются также Z-параметры. Усредненные значения Y-, Z- и Н-параметров транзисторов приводятся в справочной литературе. Следует иметь в виду, что одни и те же параметры имеют различные значения в зависимости от того, какой именно из электродов транзистора (эмиттер, база, коллектор) является общим для входной и выходной пар зажимов транзистора как четырехполюсника. Различают поэтому Y-, Z- и Н-параметры транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с общим коллектором.
Пример. Определим параметры биполярного транзистора п-р-п типа, включенного по схеме с общим эмиттером (рис. 12.12, я). Его схема замещения в области нижних частот показана на рис. 12.12, б. Сравнивая эту схему со схемой рис. 12.11, а, видим, что при обе схемы становятся идентичными. Следовательно, Y-матрица биполярного транзистора с общим эмиттером имеет вид
Электронная лампа как четырехполюсник чаще всего характеризуется Y- или А-параметрами. Для электронной лампы с общим катодом, если считать, что сеточные токи отсутствуют, и не учитывать паразитные емкости, имеем:
где S— крутизна электронной лампы (скорость изменения анодного тока с изменением сеточного напряжения); Ri — внутреннее сопротивление лампы; μ — коэффициент усиления лампы (см. §1.2).
При перечисленных выше условиях Z- и Н-параметров для электронной лампы не существует. В общем случае, когда с влиянием между электродами лампы через паразитные элементы приходится считаться, ни один из параметров лампы с учетом ее паразитных элементов не равен нулю и лампа как четырехполюсник может характеризоваться любой системой параметров.
Параметры сложных четырехполюсников. При анализе сложного четырехполюсника следует выделить простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. Затем с помощью матричных методов расчета можно определить соответствующие матрицы сложного четырехполюсника.
Пример. Рассмотрим методику определения Н-параметров каскада усилителя на транзисторе со схемой, показанной на рис. 12.13, а. Каскад усилителя образуется в результате параллельного соединения транзистора и П- образного пассивного четырехполюсника (рис. 12.13, б). Поэтому следует оперировать матрицами Y соединяемых четырехполюсников. Ранее для П- образной схемы была найдена матрица А. От нее с помощью табл. 12.1 можно перейти к матрице Y П- образного четырехполюсника. Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, Y-параметры определяем из выбранной модели (рис. 12.13, в), либо берем из справочника. Просуммировав найденные таким образом матрицы Y П- образного четырехполюсника и транзистора, получим матрицу Y усилительного каскада. Далее по табл. 12.1 перейдем к искомой матрице Н усилительного каскада.