- •1.1. Ток, напряжение, мощность
- •1.2. Электрическая цепь, ее элементы и модели
- •1.3.Электрическая схема, топология электрической цепи
- •1.4. Законы Кирхгофа
- •L.5. Принцип эквивалентности. Преобразования электрических схем
- •1.6. Принцип наложения
- •1.7. Теорема замещения
- •1.8. Теорема об активном двухполюснике
- •1.9. Принцип дуальности
- •1.10. Теорема Телледжена . Баланс мощности
- •1.11. Метод законов Кирхгофа
- •1.12. Преобразование резистивных электрических цепей
- •1.13. Метод наложения
- •1.14. Метод контурных токов
- •1.15. Метод узловых потенциалов
- •1.16. Метод эквивалентного генератора
- •2.1. Гармонические колебания. Основные понятия и определения
- •2.2. Способы представления гармонических колебаний
- •2.3. Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных элементах
- •2.4. Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении r, l, с-элементов
- •2.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении r, l, с-элементов
- •2.6. Символический метод расчета разветвленных цепей
- •2.7. Электрические цепи с индуктивными связями
- •2.8 Трансформатор
- •2.9. Баланс мощности
- •2.10. Модели электрических цепей с зависимыми источниками
- •3.1. Комплексные передаточные функции линейных электрических цепей
- •3.2. Частотные характеристики последовательного колебательного контура
- •3.3. Частотные характеристики параллельного колебательного контура
- •3.4. Частотные характеристики связанных колебательных контуров
- •4.1. Общие положения
- •4.2. Уравнения передачи четырехполюсника
- •4.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников
- •4.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника
- •4.5. Характеристические параметры четырехполюсника
- •5.1. Классификация фильтров
- •5.2. Аппроксимация характеристик фильтров нижних частот
- •5.3. Реализация фильтров нижних частот
- •5.4. Переход от фильтров нижних частот к другим типам фильтров
- •5.5. Резонаторные фильтры
- •5.6. Постановка задачи синтеза
- •5.7. Условия физической реализуемости
- •5.8. Нормирование элементов и частоты
- •5.9. Чувствительность характеристик электрических цепей
1.15. Метод узловых потенциалов
Метод узловых потенциалов (узловых напряжений) является наиболее общим и широко применяется для расчета электрических цепей, в частности, в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем.
Метод узловых потенциалов базируется на ЗТК и законе Ома. Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины, определяемой равенством (1.14). В основе этого метода лежит расчет напряжений в (nу — 1)-м узле цепи относительно базисного узла. После этого на основании закона Ома находятся токи или напряжения в соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность метода узловых потенциалов на примере резистивной цепи, изображенной на рис. 2.9, а. Примем потенциал Vз = 0 (базисный узел) и с помощью (1.31) преобразуем источники напряжения в эквивалентные источники тока
Проводимости G11 и G22 представляют собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2; они называются собственными проводимостями узлов 1 и 2. Проводимости G12 = G21 равны арифметической сумме проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостямиузлов 1 и 2. Алгебраическую сумму задающих токов Iy1и IУ2 источников тока подключенных соответственно к узлам 1 и 2 называют задающими узловыми токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком «+», если положительное направление задающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и «—», если от узла. Например, для узлового тока Iy1 со знаком «+» берется ток IГ1 так как ориентирован по направлению к узлу 1, и знак «—» берется для IГ2, так как он ориентирован от узла 1.
Решив систему (2.26) относительно V1 и V2 определим узловые потенциалы цепи. Искомые токн находим по закону Ома.
Полученный результат можно обобщить на произвольную резистивную схему с п узлами. Если принять п-й узел за базисный, то система уравнений по методу узловых потенциалов приобретает вид
Из уравнений (2.29) так же как из уравнений (2.14), следует, что узловые потенциалы определяются алгебраической суммой
частичных узловых потенциалов, обусловленных действием каждого задающего узлового тока в отдельности, т. е. как и в методе контурных токов уравнения (2.29) отражают принцип наложения, характерный для линейных электрических цепей.
Рассмотренный метод составления узловых напряжений справедлив и при наличии в цепи зависимых источников типа ИТУТ и ИТУН. В цепи, изображенной на рис. 2.10, содержится кроме независимого источника напряжения UГ1 зависимый ИТУН с задающим током Jз = = HGU1. Определим токи в цепи методом узловых потенциалов.
В соответствии с вышеизложенным 'методом примем за базисный узел V2 = 0. Тогда для узла / получим
Запишем уравнение по метолу узловых потенциалов в матричной форме. Умножим элементы редуцированной структурной матрицы Ао на потенциалы V соответствующих узлов, в результате получим матрицу напряжения ветвей:
Умножим левую и правую часть матричного уравнения (2.17) на матрицу Ао и учитывая ЗТК в матричной форме (1.18) и равенство (2.30), получим
получим матричную форму уравнений равновесия узловых потенциалов:
где Gy — квадратная матрица узловых проводимостей, Iу — матрица-столбец узловых токов.
Пример. Составим уравнение узловых потенциалов в матричной форме для схемы, изображенной на рис. 2.8, а. Примем за базис нулевой узел Vo = 0. Структурная матрица Ао в этой цепи в соответствии с правилом, изложенным в § 1.3, имеет вид
Подставив Gy и IУ в (2.33), получим уравнение узловых потенциалов в матричной форме. После определения матрицы узловых потенциалов Vy найдем матрицу напряжений ветвей согласно (2.30) и токи ветвей по закону Ома (2.17).
Для решения матричных уравнений в (2.23) или (2.33) обычно используют ЭВМ (см. § 2.7).