- •1.1. Ток, напряжение, мощность
- •1.2. Электрическая цепь, ее элементы и модели
- •1.3.Электрическая схема, топология электрической цепи
- •1.4. Законы Кирхгофа
- •L.5. Принцип эквивалентности. Преобразования электрических схем
- •1.6. Принцип наложения
- •1.7. Теорема замещения
- •1.8. Теорема об активном двухполюснике
- •1.9. Принцип дуальности
- •1.10. Теорема Телледжена . Баланс мощности
- •1.11. Метод законов Кирхгофа
- •1.12. Преобразование резистивных электрических цепей
- •1.13. Метод наложения
- •1.14. Метод контурных токов
- •1.15. Метод узловых потенциалов
- •1.16. Метод эквивалентного генератора
- •2.1. Гармонические колебания. Основные понятия и определения
- •2.2. Способы представления гармонических колебаний
- •2.3. Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных элементах
- •2.4. Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении r, l, с-элементов
- •2.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении r, l, с-элементов
- •2.6. Символический метод расчета разветвленных цепей
- •2.7. Электрические цепи с индуктивными связями
- •2.8 Трансформатор
- •2.9. Баланс мощности
- •2.10. Модели электрических цепей с зависимыми источниками
- •3.1. Комплексные передаточные функции линейных электрических цепей
- •3.2. Частотные характеристики последовательного колебательного контура
- •3.3. Частотные характеристики параллельного колебательного контура
- •3.4. Частотные характеристики связанных колебательных контуров
- •4.1. Общие положения
- •4.2. Уравнения передачи четырехполюсника
- •4.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников
- •4.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника
- •4.5. Характеристические параметры четырехполюсника
- •5.1. Классификация фильтров
- •5.2. Аппроксимация характеристик фильтров нижних частот
- •5.3. Реализация фильтров нижних частот
- •5.4. Переход от фильтров нижних частот к другим типам фильтров
- •5.5. Резонаторные фильтры
- •5.6. Постановка задачи синтеза
- •5.7. Условия физической реализуемости
- •5.8. Нормирование элементов и частоты
- •5.9. Чувствительность характеристик электрических цепей
1.14. Метод контурных токов
При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи с nB -ветями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо решить систему из пв уравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и упрощения расчетов используют методы контурных токов и узловых напряжений.
Метод контурных токов позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров, определяемых равенством (1.15). В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока Ik, направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК. В частности, для каждого из выделенных контуров можно составить уравнения по ЗНК. Поясним суть метода контурных токов на примере резистивной цепи, схема которой изображена на рис. 2.5, а. Для контурных токов Iк1 и IК2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде
Перенесем UT\ и Ur2 в правую часть системы и получим так называемую каноническую форму записи уравнений по методу контурных токов:
Слагаемые в уравнении (2.11) берутся со знаком «+», если ток Iкl и Iкп обтекают Rln в одном направлении и со знаком «—» в противном случае. Контурное задающее напряжениеUK равно алгебраической сумме задающих напряжений источников, входящих в каждый контур. Со знаком «+» суммируются источники, задающее напряжение которых направлено навстречу контурному току, и со знаком «—», если направление напряжения и контурного тока совпадают.
Решая систему уравнений (2.11), найдем значения контурных токов
Как следует из уравнений (2.14) и (2.15), контурный ток может быть получен алгебраическим суммированием частичных токов от воздействия каждого контурного задающего напряжения в отдельности. Таким образом, полученный результат отражает рассмотренный в § 1.6 принцип наложения.
Если в схеме кроме источников напряжения содержится п-ветвей с источниками тока, то независимые контуры выбираются так, чтобы источник тока входил только в один контур. Это можно сделать, если выбрать дерево графа цепи таким, чтобы источник тока входил в одну из хорд.
Число контурных уравнений при этом уменьшается до
Напряжения от задающих токов этих источников учитываются в левой части системы (2.11) на взаимных сопротивлениях, которые эти токи обтекают. Например, для схемы, изображенной на рис. 2.6, а, составляется только одно уравнение для II контура:
Сформулированные выше правила составления уравнений по методу контурных токов справедливы и в случае зависимых источников напряжения ИНУН и ИНУТ.
Пример. Найдем токн в цепи содержащей ИНУТ с задающим напряжением Uг2 = HRI1 (рис. 2.7) по методу контурных токов.
Учитывая, что цепь содержит ветвь с идеальным независимым источником тока J согласно (2.15) составим всего одно уравнение для контурного тока Iк. При этом задающий ток источника тока J замыкаем по ветви с R1 и UГ1, в результате получим
где IК — матрица-столбец контурных токов. Подставляя (2.19) в (2.18), получаем:
BRBBTIK =BUГB. (2.21)
Если учесть, что
BRBBT=RK, ВиГВ=Uк, (2.22)
где RK — квадратная матрица контурных сопротивлений; UK — матрица-столбец контурных задающих напряжений, то в соответствии с (2.20) получим матричное уравнение контурных токов
RKIK=UK. (2.23)
Пример. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.8, а. В соответствии с направлением токов строим направленный граф цепи (рис. 2.8, б) и дерево графа (рис. 2.8, в). Подсоединяя к дереву хорды (на рис. 2.8, г обозначены пунктиром), получаем три независимых контура. Выбрав направление обхода контуров I, II и III, в соответствии с правилом, изложенным в § 1,3, строим контурную матрицу
Для линейных электрических цепей важную роль играет принцип взаимности (теорема обратимости). Он гласит: если источник напряжения, помещенный в какую-либо ветвь I пассивной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви k ток определенного значения, то этот же источник, будучи помещенный в ветвь k, вызывает в ветви l ток с тем же значением.Справедливость этого принципа следует непосредственно из уравнений (2.14) и (2.15) с учетом того, чтоΔlk = Δkl.