1.17. Замена переменной. Способ 1.

Рассмотрим схему и простейшие примеры использования утверждения (1.9).

Пусть требуется вычислить неопределённый интеграл . Утверждение (1.9) можно использовать для этого двумя способами.

Способ 1. Этот способ состоит в том, чтобы представить подынтегральное выражение в виде, где функцияобладает известной первообразной, а функциядифференцируема и имеет область значений, совпадающую с областью определения функции. Если это удастся, то неопределённый интеграл можно вычислить с помощью утверждения (1.9).

Примеры 1.14.

Подынтегральное выражение можно представить в виде . Здесь. Утверждение (1.9) принимает вид:

Поэтому

.

Замечание 1.3. Функция определена на промежутке. В точкеона не дифференцируема и является первообразной функциитолько на открытом промежутке, т.е. на области определения этой функции.

Выполняя все детали вычисления неопределённого интеграла, следует помнить, на каком именно промежутке мы вычисляем первообразную.

Способ 1 применим к интегралу , гдеи– произвольные числа. В результате имеем формулу

(1.10)

Примеры 1.15.

3. =

Используя формулу (1.10) внесём в таблицу интегралов следующие формулы:

Действительно,

1.18. Замена переменной в интеграле. Способ 2

Второй способ применения утверждения (1.9) при вычислении интеграла состоит в подборе дифференцируемой функции, имеющей соответствующую область значений, такой, что известно, как вычислить интеграл. В этом случае принято для удобства записи наряду с независимой переменнойрассматривать новую независимую переменнуюкак бы заданную на втором экземпляре числовой прямой. Метод интегрирования с помощью подстановки описывается следующим образом: в интегралеположими вычислим интеграл

а затем вернёмся к старой переменной, выразив через, т.е. вместорассмотрим. Это и есть первообразная функции. В частности, возможность вернуться откдолжна быть обеспечена строгой монотонностью функциина соответствующем промежутке.

Пример 1.16. Вычислим интеграл , используя подстановку.

Поскольку на отрезке функциястрого возрастает, то существует обратная функция. В результате получаем

1.19. Интегрирование по частям

Метод интегрирование по частям основан на формуле дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 1.4. Пусть функции иопределены и дифференцируемы на некотором промежутке. Пусть функцияимеет первообразную на этом промежутке. Тогда функциятоже имеет первообразную на промежуткеи справедлива формула

(1.12)

Доказательство. Из равенства

следует, что .

Первообразной функции на промежуткеявляется функция. Функцияимеет первообразную на, по условию теоремы. Следовательно, и функцияимеет первообразную на. Интегрируя последнее равенство, получим формулу (1.12)

Формулу (1.12) называют формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Поскольку , то формулу (1.12) можно записать в следующем виде

(1.13)

Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла. В ряде конкретных случаев последний интеграл вычисляется без труда.

Большую часть интегралов, берущихся по частям, можно разбить на три основных группы:

I К первой группе относятся интегралы от функций, содержащих в качестве множителя одну из следующих функций:

Для вычисления интегралов этой группы следует применить формулу (1.12), положив в ней равной одной из указанных функций

Примеры 1.17.

Положим

Тогда

II Ко второй группе относятся интегралы вида

где - некоторые числа,- любое натуральное число.

Интегралы этой группы вычисляются путём применения формулы (1.12) раз. В качествеберётся функция.

Пример 1.18.

III К третьей группе относятся интегралы вида

.

Пример 1.19.

Для вычисления интеграла снова применим формулу (1.13): положимтогда

Таким образом, в результате двукратного интегрирования по частям для данного интеграла I получим уравнение

Из этого уравнения получаем