1.8. Простейшее дифференциальное уравнение. Задача Коши

Одна из задач интегрального исчисления – задача нахождения первообразной данной функции. Обозначим данную функцию через , искомую функцию – через. Тогда задача нахождения первообразной может быть записана в виде уравнения:

Простейшее дифференциальное уравнение.

Если - непрерывная на промежуткефункция, то уравнениеимеет бесчисленное множество решений:

.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Если некоторая интегральная кривая, то все остальные могут быть получены из неё простым сдвигом вдоль осина произвольный отрезок.

Пусть точка ,- произвольное число. Поставим задачу: найти решение уравнениятакое, что

Эту задачу называют задачей Коши, или начальной задачей. Числа называютначальными значениями величин ; условие-начальным условием.

Итак,

Простейшая задача Коши.

Начальное условие

В силу следствия 1.3 решение задачи Коши единственно. Решить задачу Коши – значит среди бесконечного множества интегральных кривых выделить интегральную кривую, проходящую через точку .

Пример 1.5. Решим задачу Коши:

.

Решение. Здесь . Очевидно, чтоРешение задачи Коши состоит в том, чтобы среди бесконечного множества интегральных кривыхнайти кривую, проходящую через точку. Подставим в равенствоначальные данные:Получим равенство:. Отсюда следует, чтоИтак,– искомое решение (решение задачи Коши).

1.9. Проблема нахождения первообразной

Теорема существования первообразной (теорема 1.2) утверждает только

факт существования первообразной у любой непрерывной функции. Доказательство теоремы существования не решает проблему нахождения первообразной конкретной функции. Решение этой проблемы в большей части случаев не является простым.

Найти производную элементарной функции обычно значительно легче, чем найти её первообразную. Задача интегрирования существенно сложнее задачи дифференцирования. Более того, может оказаться так, что первообразная элементарной функции не является элементарной.

Пример 1.6. Производная функции находится с помощью табличной формулы:

Метод нахождения первообразной функции-метод замены переменной – требует специального изучения (пп.1.16– 1.18).

Пример 1.7. Производная функции находится по правилу. Для нахождения первообразнойиспользуется так называемыйметод интегрирования по частям (п.1.18).

Пример 1.8. Производная функции находится по формулеПервообразная данной функции не является элементарной функцией (п.1.11).

1.10 Табличные интегралы

Интегралы от основных элементарных функций называют табличными.

1. ;2.; 3.

3. 4.

5.

6.

7. 8.

9. 10.

11.

12.

13.

14.

1.11. Неберущиеся интегралы

Из основных правил дифференцирования следует, что производная элементарной функции всегда являются элементарной функцией.

Существенно, что операция интегрирования таким свойством не обладает:

Первообразная элементарной функции не всегда

является элементарной функцией.

Пример 1.9. Рассмотрим функцию . Её график изображён на рис. 1.4.

Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому она имеет первообразную функцию, определённую тоже на всей числовой прямой. Однако эта первообразная не является элементарной функцией.

- «неберущийся» интеграл

Рис.1.4.

На рисунке 1.5 изображена функция - та первообразная функции, график которой проходит через начало координат.

Функция не является элементарной. Однако её значения известны во всех точках числовой оси. Отметим, что «неберущимися» являются также интегралыи многие другие. Однако первообразные функций,хорошо изучены – не менее подробно, чем синус или логарифм – это функции принципиально новой, неэлементарной природы

Рис. 1.5.

Умение выражать первообразные элементарных функций через элементарные (в тех случаях, когда это возможно) или, как принято говорить, умение «брать интегралы» - своего рода искусство. Овладеть им можно изучив некоторые методы интегрирования, а затем взяв большое количество интегралов.

Однако значение этого искусства (при всей его важности) не следует преувеличивать. Очень часто в теории и приложениях приходится иметь дело именно с «неберущимися» интегралами. В математическом анализе имеются надёжные средства их исследования и вычисления .