![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2012 Введение
- •Неопределённый интеграл (блок-схема)
- •Оглавление
- •Глава 1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.1. Определение первообразной функции
- •1.4. Следствия из теоремы «единственности» первообразной
- •1.5. Неопределённый интеграл
- •Операция интегрирования – операция нахождения
- •1.6. Проблема существования первообразной
- •1.7. Геометрическая интерпретация первообразной
- •1.8. Простейшее дифференциальное уравнение. Задача Коши
- •1.9. Проблема нахождения первообразной
- •1.10 Табличные интегралы
- •1.11. Неберущиеся интегралы
- •1.12. Линейные свойства неопределённого интеграла
- •1.13. Дифференциал неопределённого интеграла
- •1.14. Неопределённый интеграл от дифференциала
- •1.15. Непосредственное интегрирование
- •1.16. Метод замены переменной. Основные теоремы
- •Формулы интегрирования сохраняют свою структуру
- •1.17. Замена переменной. Способ 1.
- •1.18. Замена переменной в интеграле. Способ 2
- •1.19. Интегрирование по частям
1.4. Следствия из теоремы «единственности» первообразной
Следствие
1.1. Если
первообразные
одной и той же функции
совпадают в одной точке промежутка
,
то они совпадают во всех точках этого
промежутка.
В силу теоремы
1.1. всюду на промежутке
Пусть
и
Тогда
Следовательно,
и
при всех
Следствие 1.2. Приращение первообразной данной функции на данном промежутке одно и тоже для всех первообразных.
Пусть
- первообразные функции
на отрезке
.
Поскольку
где
,
то
Следствие
1.3. Если
функция
имеет первообразную
на промежутке
,
то для любой точки
и любого числа
на промежутке
,
существует такая первообразная
функции
что
Положим
Тогда
– искомая первообразная.
1.5. Неопределённый интеграл
Определение
1.2.
Множество всех первообразных данной
функции
называютнеопределённым
интегралом
функции
и обозначают символом
–знак интеграла
–подынтегральная
функция
–подынтегральное
выражение
Пусть
– какая-нибудь первообразная функции
.
Используя теорему 1.1, можно записать
(1.2)
где
- любая постоянная.
первообразной.Операция интегрирования – операция нахождения
Примеры 1.2.
1.
.
2.
3.
.
4.
.
5.
Замечание
1.1.
Под знаком
интеграла принято записывать
дифференциал искомой первообразной,
а не её производную:
а не
Такой способ записи целесообразен.
Символ
указывает переменную, по которой
производится интегрирование
(переменную
интегрирования).
Примеры 1.3.
Найти неопределённый интеграл от функции – это значит найти все первообразные от неё (для чего достаточно указать одну из них). Потому и говорят «неопределённое» интегрирование, что при этом не указывают, какая именно первообразная имеется в виду.
1.6. Проблема существования первообразной
Далеко не всякая
функция способна быть производной (т.е.
иметь первообразную). Так, у функции
,
изображённой на рис. 1.1,первообразной
нет.
Тот факт, что функция
имеет разрыв в точке
не случаен.
-1
Рис.1.1.
Теорема 1.2. (Существование первообразной). Любая функция, непрерывная на промежутке, имеет на этом промежутке первообразную.
Эта теорема – одна из главных в интегральном исчислении. Она будет доказана в главе 2.
Геометрическая интерпретация доказательства приводится в следующем пункте.
1.7. Геометрическая интерпретация первообразной
Пусть функция
непрерывна и неотрицательна на отрезке
.
Рис. 1.2.
Рассмотрим
криволинейную трапецию
,
изображённую на рис. 1.2. Определим на
отрезке
функцию
следующим образом: каждому значению
поставим в соответствие величину
площади криволинейной трапеции
,
заключённой между начальной ординатой
и ординатой, отвечающей значению
.
Найдём производную
функции
.
Придадим переменной
некоторое приращение
:
,
.
В силу непрерывности функция
достигает на отрезке
своих наименьшего
и наибольшего
значений. Очевидно, площадь
заключена между площадями прямоугольников,
построенных на основании
и имеющих высоты
и
,
т.е.
,
откуда
.
Если
значения
и
будут изменяться и в силу непрерывности
функции
Поэтому
.
Итак,
первообразная
непрерывной функции
есть переменная
площадь
Среди первообразных
функции
на отрезке
первообразная
выделяется тем, что она обращается в
в точке
.
Поэтому
В частности, площадь
криволинейной трапеции
вычисляется по формуле
-
(1.3)
Пример
1.4.
Вычислить площадь
криволинейного треугольника,
заштрихованного на рис. 1.3.
Рис.1.3.
Решение.
Первообразная функции
есть функция
Используя формулу (1.3), получим
Отсюда следует,
что площадь параболического сегмента
равна
т.е. двум третям площади описанного
прямоугольника
.
Замечание 1.2. В связи с тем, что между вычислением интегралов и вычислением площадей плоских фигур – квадратурой – существует связь, вычисление интегралов тоже принято называть квадратурой.