METOD
.pdfТаблица 15 Таблица умножения для пятеричной системы счисления
• |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
4 |
11 |
13 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
11 |
14 |
22 |
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
4 |
13 |
22 |
31 |
|
|
|
|
|
|
б) Найдем произведение 43025 • 3245, используя правила умножения аналогичные правилам, принятым в десятичной с. с., и таблицу 15.
Запишем второй множитель под первым так, чтобы разряды совпадали:
43025
3245
Используя таблицу 15, умножим 43025 на 45.
43025
3245
332135
Рассуждали так: четыре на два 13 (по таблице); 3 пишем, 1 – в уме. Четыре на нуль дает 0, да плюс один, – пишем 1. Четыре на три 22 (по таблице); 2 пишем, 2 – в уме. Четыре на четыре 31 (по таблице), да плюс два, – пишем 3, 3 – в уме. Тройку сносим в пятый разряд.
Рассуждая аналогично, умножим 43025 на 25, полученное произведение запишем под первым результатом, смещая на разряд влево:
43025
3245
332135
141045
Умножим 43025 на 35, полученное произведение запишем под вторым результатом, смещая на разряд влево:
43025
3245
332135
141045
234115
Сложим полученные произведения, используя правило сложения в q-ной системе счисления для пятеричной с. с.:
43025
3245
332135
141045
234115
31204035
Итак, 43025 • 3245 = 31204035. Ответ: 31204035.
Задача. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа, представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в десятичную систему: n = 5, q = 4.
Решение
Наибольшее пятиразрядное число, состоящее из 3 как максимальной цифры четверичной системы счисления
333334 = 3 • 44 + 3 • 43 + 3 • 42 + 3 • 41 + 3 • 40 = 97510.
Наименьшее пятиразрядное число 100004 = 1 • 44 + 0 • 43 + 0 • 42 + 0 • 41 + 0 • 40
= 25610.
Ответ: 97510 и 25610.
Задача. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное отрицательное числа можно представить в двух байтах информации?
Решение
Два байта – это 16 бит (т. е. 2 по 8 бит), то есть это 16-разрядное число в двоичной системе счисления. Положительное число начинается (слева) нулем, так как мы ищем максимальное число, то остальные цифры будут единицы. Итак, двоичное представление максимального положительного числа в двух
байтах информации: 0111 1111 1111 11112. Это число проще перевести в 16ную систему по таблице 12, а затем из 16-ой с. с. в десятичную:
0111 1111 1111 11112 = 7FFF16 = 7 • 163 + 15 • 162 + 15 • 161 + 15 • 160 = = 7 • 4096 + 15 • 256 + 15 • 16 + 15 = 28672 + 3840 + 240 + 15 = 3276710.
Отрицательное число начинается (слева) единицей, так как мы ищем минимальное число, то остальные цифры будут нули. Итак, двоичное представление минимального отрицательного числа в двух байтах информации: 1000 0000 0000 00002. Это число проще перевести в 16-ную систему по таблице 13, а затем из 16-ой с. с. в десятичную:
1000 0000 0000 00002 = 800016 = 8 • 163 + 0 • 162 + 0 • 161 + 0 • 160 = = 8 • 4096 + 0 + 0 + 0 = – 2867210.
Ответ: 3276710 и – 2867210.
Задача. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке: 160810 и –160810.
Решение
Воспользуемся правилами получения внутреннего представления в ЭВМ целого положительного и целого отрицательного числа N, хранящегося в k- разрядном машинном слове. В нашем случае машинным словом является двухбайтное число, то есть 16-разрядное.
Переведем N = 160810 в двоичную систему счисления, получим 110010010002. Внутренне представление этого положительного числа в двухбайтовой ячейке памяти будет следующим: 0000 0110 0100 1000.
Для нахождения шестнадцатеричной формы представления числа воспользуемся таблицей 13 и получим 0648.
Для нахождения двоичной формы представления отрицательного числа – 160810 найдем обратный код положительного числа 160810, для этого:
заменим 1 на 0 в его двоичном представлении (0000 0110 0100 1000): 1111 1001 1011 0111.
Прибавим к обратному коду 1:
1 1 1
1111 1001 1011 01112
12
1111 1001 1011 10002
1111 1001 1011 1000 – это внутреннее двоичное представление отрицательного числа –160810. Его шестнадцатеричная форма: F9B8.
Ответ: 0000 0110 0100 1000 и 0648; 1111 1001 1011 1000 и F9B8.
Задачи для самостоятельного решения
I тип
Задача 50*. Число, записанное в развернутой форме, представить в сокращенной форме:
а) 1•24+0•23+0•22+1•21+1•20; б) F•163+D•162+8•161+0•160;
в) 7•85+7•84+5•83+0•82+2•81+0•80; г) 4•108+9•107+7•106+0•105+2•104+1•103+0•102+3•101+4•100; д) 2•72+6•71+6•70; е) 5•94+4•93+3•92+0•91+7•90.
Задача 51*. Число, записанное в сокращенной форме, представить в развернутом виде:
а) 21013; б) BF2D16 ; в) 5446; г) 9787510; д) A3B12;
е) 10100112.
Задача 52**. Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления:
а) 11000102; б) CD516; в) 33124;
г) 47748; д) 32215; е) 1094710.
Задача 53***. Найти ошибку в сокращенной или развернутой записи числа:
а) 1040065; б) 76557; в) 10112012;
г) 20522123; д) F789G0316;
е) 46 + 5 • 45 + 3 • 44 + 2 • 43 + 2 • 42; ж) 5 • 64 + 2 • 33 + 2 • 62 + 4 • 6 + 5; з) 2 • 33 + 32 + 3 + 3; и) 55 + 3 • 54 + 4 • 53 + 2 • 52 + 5 + 6;
к) B • 166 + F • 164 + 9 • 163 + E • 162 + H • 16 + C.
Задача 54***. Перевести дробное число в десятичную систему счисления:
а) 0,1012; б) 0,00112; в) 0,4678; г) 0,0645; д) 0,324; е) 0,1239.
II тип
Задача 55*. Перевести дробное число из десятичной системы в q-ичную:
а) q = 4; число 0,98610; б) q=2; число 0,5610; в) q=3; число 0,12810; г) q=5; число 0,1410; д) q=6; число 0,64810; е) q=8; число 0,79110.
Задача 56**. Перевести целое число из десятичной системы в q-ичную:
а) |
q = 8; число 598710; |
|
|
|
|
||
б) |
q=2; число 25610; |
|
|
|
|
||
в) |
q=4; число 44810; |
|
|
|
|
||
г) |
q=7; число 567110; |
|
|
|
|
||
д) |
q=9; число 7911210; |
|
|
|
|
||
е) |
q=16; число 8994210. |
|
|
|
|
||
Задача |
57***. |
Перевести |
смешанное |
число |
из |
десятичной |
|
системы в q-ичную: |
|
|
|
|
|
||
а) |
q = 6; число 365,84510; |
|
|
|
|
||
б) |
q=5; число 12,48610; |
|
|
|
|
||
в) |
q=4; число 101,25610; |
|
|
|
|
||
г) |
q=7; число 25,57710; |
|
|
|
|
||
д) |
q=3; число 133,7810; |
|
|
|
|
||
е) |
q=9; число 16,124510. |
|
|
|
|
||
III тип |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 58*. Составить таблицу, пользуясь переводом чисел: |
|
|
|||||
а) |
двоично-четверичную; |
|
|
|
|
||
б) |
двоично-восьмеричную; |
|
|
|
|
||
в) |
двоично-32-ричную; |
|
|
|
|
||
г) |
четверично-восьмеричную; |
|
|
|
|
||
д) |
четверично-шестнадцатеричную; |
|
|
|
|||
е) |
восьмерично-шестнадцатеричную. |
|
|
|
|||
Задача |
59**. Перевести из p-ичной системы |
счисления |
в |
q-ичную через |
десятичную:
а) 99916 → x8; б) 5667 → x4; в) 758 → x2; г) 1869 → x5;
д) 100112 → x6;
Задача 60***. Осуществить перевод числа из системы счисления с основанием 2n в другую систему с основанием 2k, используя соответствующие таблицы:
а) D1216 → x2; б) 7518 → x2; в) 12234 → x2; г) HFD32 → x2;
д) 110000112 → x4; е) 110101002 → x8;
ж) 10111100102 → x16;
з) 1111011001112 → x432.
Задача 61***. Осуществить перевод числа из системы счисления с основанием 2n в другую систему с основанием 2k через двоичную:
а) CB416 → x8; б) 4468 → x16; в) 2214 → x8; г) 62338 → x4; д) AF916 → x4; е) 21334 → x16.
IV тип
Задача 62*. Описать процесс получения результата действия и найти ошибку:
а) |
1 |
б) |
1 |
1 1 1 |
1 |
в) |
1 1 |
г) |
1 |
1 |
1010012 |
|
32014 |
34215 |
51256 |
||||||
|
110012 |
|
|
3314 |
|
24425 |
|
|
4236 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11010002 |
|
|
31324 |
|
114035 |
|
105526 |
д) |
1 |
е) |
1 |
1 |
ж) |
1 |
з) |
1 |
1 1 1 |
1 |
||
43157 |
67138 |
B2116 |
|
|
1111012 |
|||||||
|
21147 |
|
54478 |
|
9D016 |
|
|
|
|
1101112 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
64337 |
|
143528 |
|
15F116 |
|
|
11100002 |
Задача 63*. Описать процесс получения результата действия и найти ошибку:
а) |
• • • • • |
б) |
• • |
52000210 |
21023 |
||
|
3245510 |
|
1213 |
|
48764710 |
|
12113 |
д) |
• • • • |
е) |
• • |
8 9В4 716 |
10011012 |
||
|
4АD9A16 |
|
110112 |
|
3ED9D16 |
|
1100002 |
Задача 64**. Выполнить действие:
а) A0BC9316 + 69FE4516; б) 11001012 + 100112; в) 3324 + 314; г) 45718 + 4778;
д) 56627 + 12467; е) 211213 + 12213.
Задача 65**. Выполнить действие:
а) A0BC9316 – 9FE4516; б) 1110110112 – 1001112; в) 2334 – 1314; г) 6758 – 578; д) 5617 – 3257;
е) 45346 – 25556.
в) |
• • |
г) |
656427 |
||
|
213657 |
|
|
432447 |
|
ж) |
• • |
з) |
210004 |
||
|
3124 |
|
|
100224 |
|
Задача 66***. Пользуясь сложением, составить таблицу: а) двоично-четверичную; б) двоично-восьмеричную; в) двоично-32-ричную;
г) четверично-восьмеричную; д) четверично-шестнадцатеричную;
е) восьмерично-шестнадцатеричную.
•
30245
21345
3405
• • • •
2BA0016
3 F3916 27AC716
V тип
Задача 67*. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа, представимые в системе счисления с основанием q и перевести эти числа в десятичную систему:
a)n = 4; q = 2;
b)n = 3; q = 16;
c)n = 4; q = 4;
d)n = 5; q = 6;
e)n = 12; q = 7;
f)n = 4; q = 8.
Задача 68**. Какое максимальное десятичное положительное и минимальное отрицательное числа можно представить в байте информации?
Задача 69**. Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке:
a)145110 и –145110;
b)186710 и –186710;
c)233710 и –233710;
d)199710 и –199710;
e)198610 и –198610;
f)230010 и –230010.
Задача 70***. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления целого числа в двухбайтовой ячейке восстановить само число:
a)F89A;
b)FA7B;
c)F8D0;
d)F9AA;
e)F8D4;
f)F7BB.
Задача 71***. Выяснить, в какой системе счисления произведено сложение, и заменить звездочки цифрами:
а) |
|
23*5*? |
|
|
б) |
|
*54*? |
|
в) |
54**? |
|
|
|
г) |
|
1021? |
|
|||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1*642? |
|
|
|
|
*44? |
|
|
|
|
*723? |
|
|
|
|
|
***0? |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
42423? |
|
|
|
|
7305? |
|
|
|
|
10135? |
|
|
|
з) |
3121? |
|
|||||
д) |
|
|
|
1**31? |
|
|
е) |
|
60*4? |
|
ж) |
|
*1*44? |
|
|
|
24**1? |
|
||||
|
|
|
|
*31*3? |
|
|
|
|
**52? |
|
|
|
|
|
|
|
*235*? |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33*0? |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
34344? |
|
|
|
|
13446? |
|
|
|
|
|
|
|
116678? |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20044? |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 72***. Составить соответствующие таблицы умножения и выполнить умножение:
а) 1011012 • 1012; б) 568 • 128; в) 1204 • 314;
г) 12013 • 1103; д) А516 • 9С16; е) 5617 • 337.
Домашнее задание
Вариант 1
1.Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: 11001101012
2.Перевести целое число 746 из десятичной в троичную систему счисления.
3. Перевести число 1247 в пятеричную систему |
счисления через |
десятичную. |
|
4.Выполнить действие: 5278 + 6018; 3256 – 2416.
5.Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке 235010 и –235010.