METOD

Вариант 2

1.Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: 6457

2.Перевести целое число 10458 из десятичной системы в 16-ичную.

3.Перевести число 200213 в шестеричную систему счисления через десятичную.

4.Выполнить действие: 4015 + 2335; 3567 – 2647.

5.Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего

представления чисел в двухбайтовой ячейке 225010 и –225010. Вариант 3

1.Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: AF616.

2.Перевести целое число 6125 из десятичной системы счисления в пятеричную.

3.Перевести число CA716 в восьмеричную систему счисления через десятичную.

4.Выполнить действие: 3234 + 2324; 6019 – 5649.

5.Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке 199210 и –199210.

Вариант 4

1.Перевести число, записанное в сокращенной форме, в десятичную систему счисления: 176528.

2.Перевести целое число 4570 из десятичной системы в троичную.

3.Перевести из D9A16 в троичную систему счисления через десятичную.

4.Выполнить действие: 7118 + 5268; 2415 – 1345.

5.Получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления чисел в двухбайтовой ячейке 187710 и –187710.

Контрольные вопросы

1.Что такое система счисления?

2.Какие системы счисления бывают?

3.Что такое базис, основание системы счисления?

4.В чем различие между цифрой и числом?

5.Какие формы записи числа бывают? Как они представляются?

6.Как из десятичной системы перевести число в q-ую и обратно?

7.В чем заключены правила сложения и вычитания в q-ых системах счисления?

8.Какова роль систем счисления в теории информации?

9.Как получить двоичную, шестнадцатеричную форму внутреннего представления десятичных чисел в k-разрядной ячейке?

Библиографический список

1.Информатика. 3-е изд. / под ред. А. Н. Степанова. – СПб.: Питер, 2003. –

С. 57.

2.Информатика: базовый курс / С. В. Симонович и др. – СПб.: Питер, 2001. – С. 20.

3.Информатика: задачник-практикум: в 2 т. / под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. Том 1. – С. 27–42.

4.Системы счисления: метод. указания для студ. физико-математического факультета / Сост. Л. М. Артищева. – Томск: Центр учебно-методической литературы ТГПУ, 2003. – 28 с.

5.Математика для гуманитариев: конспект лекций / авт. – сост. И. И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб.

гос. пед. ун-та, 2003. – 46 с.

6.Стойлова Л. П. Математика: учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л. П. Стойлова. – М.: Издательский центр «Академия», 2002, § 17.

Тема 4. Комбинаторика

Цель: овладеть навыками подсчета количества различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям.

Задачи научиться:

1)распознавать и решать задачи на правила суммы и произведения;

2)находить число перестановок, размещений, сочетаний без повторений;

3)находить число перестановок, размещений, сочетаний с повторениями;

4)выбирать то или иное комбинаторное правило в практических задачах.

Общие теоретические сведения

Решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Область математики, которая исследует решение комбинаторных задач, называется комбинаторикой. Все задачи, рассматриваемые комбинаторикой, требуют ответа на вопрос «сколько?» или «сколькими способами?».

Правило суммы. Если элемент a из одного множества можно выбрать m способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор «либо a, либо b» можно осуществить m + k способами, при условии, что данные множества не пересекаются.

Правило произведения. Если элемент a из одного множества можно выбрать m способами, а элемент b из другого множества – k способами, то выбор пары «a и b» можно осуществить m · k способами.

Перестановка n элементов из n элементов. Дано множество, состоящее из n элементов. Перестановкой называется упорядоченное множество, составленное из данных элементов. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты перестановок: {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}.

Число всевозможных перестановок из n элементов обозначается Pn и находится по формуле Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Число n! читается как «n факториал». Считается, что 1! = 1, 0! = 1.

Размещение без повторений из n элементов по k элементам

Дано множество, состоящее из n элементов. Размещением без повторений из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из n- элементного множества один раз. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты размещений без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c, a}, {c, b}.

Число всевозможных размещений без повторений k из n элементов обозначается Аnk и находится по формуле

Размещение с повторениями из n элементов по k элементам

Дано множество, состоящее из n элементов. Размещением c повторениями из n элементов по k называется перестановка из k элементов, выбранных из n-элементного множества, причем каждый элемент может быть выбран несколько раз.

Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты размещений с повторениями по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {b, a}, {b, c}, {c,

Сочетание без повторений из n элементов по k элементам

Дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием без повторений из n элементов по k элементам называется неупорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элементов.

Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}.

Сочетание с повторениями из n элементов по k элементам

Дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием с повторениями из n элементов по k называется неупорядоченное подмножество данного множества, состоящее из k элементов, причем элементы могут повторяться. Например, для множества {a, b, c} существуют следующие варианты сочетаний без повторений по 2 элементам: {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}.

Число всевозможных сочетаний с повторениями k из n элементов

k!(n −1)!

При решении комбинаторных задач в первую очередь необходимо определить, является ли эта задача комбинаторной, т. е. можно ли сформулировать задачу в форме вопроса «сколькими способами?». Затем определить, какое правило нужно применить для этого.

1.Нужно определить, о скольких множествах идет речь:

a.если два множества и более, то возможны два варианта:

i.объединение множеств (когда элементы множества объединяются с помощью союза «или»), тогда применяется правило суммы. Задача решена;

ii.пересечение множеств (когда элементы множества объединяются с помощью союза «и»), тогда применяется правило произведения. Задача решена;

b.если одно множество, то для определения формулы нужно обратиться

кпункту 2.

2.Определяем, сколько элементов множества участвуют в задаче:

a.если n элементов из n без повторов, применяется формула перестановки Pn. Задача решена;

b.если k элементов из n, то воспользуемся таблицей 16 для определения формулы. Задача решена.

Практические задания

Примеры решений

I тип. Правила суммы и произведения

Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому языку. Сколькими способами можно выбрать один учебник?

Решение

В данной задаче речь идет о выборе одного элемента из двух множеств: A – учебники по литературе, B – учебники по русскому языку. Учебник можно выбрать по литературе или по русскому языку. Так как множества объединены с помощью союза «или», то воспользуемся правилом суммы. Мощность множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким образом, общее число способов 4 + 7 = 11.

Ответ: 11.

Задача. На столе лежат 4 учебника по литературе и 7 по русскому языку. Сколькими способами можно выбрать пару, состоящую из учебника по литературе и учебника по русскому языку?

Решение

1 способ (перебор возможных способов)

Пронумеруем учебники по литературе и по русскому языку. Составим таблицу 17, характеризующую возможные выборы пар учебников (переберем все возможные варианты).

Первый элемент в паре – это учебник по русскому языку, второй – по литературе. В таблице 17 представлены все возможные варианты пар, которые можно составить из учебника по русскому языку и литературе. Подсчитаем их количество: 4 строки умножим на 7 столбцов, получим 28 пар. То есть пару, состоящую из учебников по русскому языку и литературе, можно выбрать 28 способами.

2 способ (правило произведения)

В задаче речь идет о двух множествах, выбрать нужно учебник по литературе и русскому языку. То есть элементы из этих множеств объединяются союзом «и». Применим правило произведения. Мощность множеств А и В равны соответственно m(A) = 4 и m(B) = 7, т. е. учебник по литературе можно выбрать 4 способами, а по русскому языку – 7. Таким образом, общее число способов выбрать пару учебников по разным предметам

4 • 7 = 28.

Ответ: 28.

Задача. Сколько существует четырехзначных чисел?

Решение Четырехзначное число состоит из четырех цифр: abcd . Первую цифру – число тысяч (множество А), можно выбрать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т. е. множество

А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Таким образом, задачу можно переформулировать: сколькими способами (N) из элементов множеств A, B, C, D можно составить четверку упорядоченных элементов? Согласно правилу произведения N = 9 · 10 · 10 · 10 = 9000.

Ответ: 9000.

II тип. Перестановки, размещения, сочетания без повторений

Задача. На Ассамблее ООН должны выступить: В. Путин, Дж. Буш, К. Аннан. Порядок выступления лидеров имеет существенное значение для мировой политики. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений?

Решение

1 способ (перебор всех возможных вариантов)

Возможны следующие варианты перестановок: Путин, Буш, Аннан; Путин, Аннан, Буш; Буш, Путин, Аннан; Буш, Аннан, Путин; Аннан, Буш, Путин; Аннан, Путин, Буш.

Итак, всего 6 вариантов расстановки выступающих.

2 способ (правило подсчета перестановок)

Взадаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно переставить 3 элемента из 3 без повторов, поэтому применим формулу числа перестановки P3. P3 = 3! = 3 • 2 • 1 = 6.

Ответ: 6.

Задача. На Ассамблее ООН необходимо выступить только двум лидерам из трех. Сколько существует способов выстроить порядок выступлений в данном случае?

Решение

1 способ (перебор всех возможных вариантов)

Путин, Буш; Путин, Аннан; Буш, Аннан; Буш, Путин; Аннан, Путин; Аннан, Буш.

Итого 6 способов.

2 способ (правило подсчета размещений)

Взадаче речь идет об одном трехэлементном множестве. По условию нужно разместить 2 элемента из 3 без повторов, поэтому применим правило

= 3 · 2 = 6.

Ответ: 6.

Задача. Сколькими способами из десяти различных букв можно записать шестибуквенные слова, при условии, что буквы в слове не повторяются?

Решение

В задаче речь идет об одном десятиэлементном множестве. По условию нужно разместить 6 элементов из 10 без повторов, поэтому применим правило размещения (порядок в задаче существенен) без повторения, а именно, А106 = 10

· 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 151 200.