METOD

Решение

а) На первый взгляд может показаться, что в развернутой форме записи данного числа отсутствуют коэффициенты перед 85 и 9, отсутствует слагаемое с 82, в слагаемом 2 • 8 нет показателя степени 8, и нет степени у 9. Но это не является ошибкой, а говорит лишь о том, что коэффициенты перед 85 и 9 равны 1, коэффициент перед 82 равен 0, в слагаемом 2 • 8 показатель степени 8 равен 1 (2 • 81), степень у 9 равна 80 =1. То есть, если привести данное число к стандартной развернутой форме, получим: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + + 9 = 1 • 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 0 • 82 + 2 • 81 + 9• 80. Ошибка заключается в том, что число записано в восьмеричной с. с., в которой отсутствует цифра 9 (базис {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}).

Ответ: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9.

б) Число составлено из цифр четверичной с.с., в базисе которой отсутствует цифра 4 (базис {0, 1, 2, 3}).

Ответ: 24310324

Задача. Перевести дробное число 34,42145 в десятичную систему счисления.

Решение

Используем правило перевода из q-ичной в десятичную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 5, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции.

34,42145 = 3 • 51 + 4 • 50 + 4 • 5-1 + 2 • 5-2 + 1 • 5-3 + 4 • 5-4 = 15 + 4 + 4 • 15 + 2 • •

251 + 1 • 1251 + 4 • 6251 = 19 + 54 + 252 + 1251 + 6254 = 19 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0064 = 19 + 0,8944 = 19,894410.

Ответ: 19,894410.

II тип. Перевод из десятичной системы счисления в любую q-ичную

Задача. Перевести целое число 388610 в восьмеричную систему счисления. Решение

Согласно правилу перевода из десятичной в q-ичную систему счисления целых чисел, разделим 3886 на 8 и получим частное 485 и остаток 6. Следовательно, в восьмеричной записи числа 3886 последняя цифра равна 4. Для нахождения второй цифры разделим найденное 485 снова на 8. Получим частное 60, а остаток при этом равен 5. Следовательно, предпоследняя цифра в восьмеричной записи числа 3886 есть 5. Далее, разделив 60 на 8, получим 7 и 4 в остатке. 4 – третья с конца цифра в восьмеричной записи числа 3886. Частное равное 7 на 8 уже не делится, значит 7 – первая цифра в восьмеричной записи числа 3886. Итак, 388610 = 74568.

Проведенные выкладки удобно представить следующим образом:

Ответ: 388610 = 74568.

Задача. Перевести дробное число 0,894410 в пятеричную систему счисления.

Решение

Воспользуемся правилом перевода из десятичной в q-ичную систему счисления дробных чисел:

0, 8944

•5 4, 4720

•5 2, 3600

•5 1, 8000

•5 4, 0000

Согласно пункту 4 правила запись дробного числа начинается с целой части первого произведения, следовательно, 0,894410 = 0,42145. И действительно, когда переводили число 34,42145 в десятичную систему (см. выше), мы получили 19,894410, то есть дробные части этих чисел совпадают

0,894410 = 0,42145.

Ответ: 0,894410 = 0,42145.

Задача. Перевести смешанное число 19,894410 в пятеричную систему счисления.

Решение

Согласно правилу перевода смешанных чисел из десятичной системы, нужно отдельно перевести в пятеричную с. с. целую часть числа и отдельно – дробную. Дробную часть нашли в предыдущем примере 0,42145. Переведем 1910 в пятеричную систему:

19 5

15 3

4

Получаем, что 1910 = 345. Итак, 19,894410 = 34,42145. Проведенный в предыдущем типе задач перевод числа 34,42145 в десятичную систему дал аналогичный результат, что подтверждает полученный результат.

Ответ: 19,894410 = 34,42145.

III тип. Перевод из p-ичной системы счисления в q-ичную

Задача. Перевести 32014 в восьмеричную систему счисления. Решение

Переведем число вначале в десятичную систему счисления, затем полученное число из десятичной системы переведем в восьмеричную:

32014 → y10→ z8.

32014 = 3 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 1• 40 = 3 • 64 + 2 • 16 + 0 + 1 = 22510.

Итак, 32014 = 3418. Ответ: 32014 = 3418.

Задача. Составить двоично-шестнадцатеричную таблицу. Решение

216 = 210 = 102.

Аналогично, получаем 316 = 310 = 112; 416 = 410 = 1002; 516 = 510 = 1012; 616 = 610 = 1102; 716 = 710 = 1112; 816 = 810 = 10002; 916 = 910 = 10012; A16 = 1010 = 10102; B16 = 1110 = 10112; C16 = 1210 = 11002; D16 = 1310 = 11012; E16 = 1410 = 11102; E16 = 1510 = 11112.

Сведем полученные данные в таблицу 13.

Таблица 13

Двоично-шестнадцатеричная таблица

Задача. Перевести 110010100111012 из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Решение

Согласно правилу перевода целого двоичного числа в систему счисления с основанием q = 2n, (в данном случае q = 16, n = 4) разделим число на группы по четыре цифры, начиная справа: 11 0010 1001 1101. В крайней слева группе оказалось 2 цифры, поэтому дополним ее нулями: 0011 0010 1001 1101. Используя данные из таблицы 13, заменим двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 2 9 D.

Итак, 110010100111012 = = 329D16. Ответ: 110010100111012 = 329D16.

Задача. Перевести 8BFD16 в двоичную систему счисления. Решение

Согласно правилу перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n в двоичную системы счисления, и используя данные таблицы 13, 8 заменим ее двоичным эквивалентом 1000, B – 1011, F – 1111, D – 1101. Итак, получаем 8BFD16 = 10001011111111012.

Ответ: 8BFD16 = 10001011111111012.

IV тип. Арифметические операции в различных системах счисления

Задача. Выполнить действие в четверичной системе счисления:

130234 + 33234.

Решение

Воспользуемся правилом сложения чисел в q-ой системе счисления.

То есть запишем второе слагаемое под первым, так чтобы разряды чисел находились друг под другом:

130234

133234

Сложим цифры первого разряда справа по правилам десятичной системы: 3+3 = 6, т. е. имеем случай, когда сумма больше основания системы счисления

(4). Представим 6 в четверичной с. с.: 610 = 1 • 4 + 2 = 124. Таким образом, в первый разряд ответа запишем 2, а 1 перенесем в следующий разряд (2 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

24

Сложим цифры второго разряда справа по правилам десятичной системы: 2 + 2 + 1 = 5. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 5 в четверичной с. с.: 510 = 1 • 4 + 1 = 114. Таким образом, во второй разряд ответа запишем 1, а 1 перенесем в следующий разряд (1 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

124

Сложим цифры третьего разряда справа по правилам десятичной системы: 0 + 3 + 1 = 4. Сумма равна основанию системы счисления (4). Представим 4 в четверичной с. с.: 410 = 1 • 4 + 0 = 104. Таким образом, в третий разряд ответа запишем 0, а 1 перенесем в следующий разряд (0 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

0124

Сложим цифры четвертого разряда справа по правилам десятичной системы: 1 + 3 + 3 = 7. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 7 в четверичной с. с.: 710 = 1 • 4 + 3 = 134. Таким образом, в четвертый разряд ответа запишем 3, а 1 перенесем в следующий разряд (3 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

30124

Сложим цифры пятого разряда справа по правилам десятичной системы: 1 + 1 + 1 = 3. Сумма меньше основания системы счисления (4). Таким образом, в пятый разряд ответа запишем 3, а в следующий разряд переносить ничего не нужно.

130234

133234

330124

Ответ: 330124

Задача. Выполнить действие в 6-ой системе счисления:

5300026 – 424556

Решение

Запишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом:

5300026

424556

Цифра вычитаемого в первом разряде меньше соответствующей цифры уменьшаемого, цифры следующих четырех разрядов равны нулю, поэтому цифру 3 из пятого (справа) разряда уменьшаемого уменьшим на единицу

(«займем единицу»), а нули увеличим до q-1, т. е. до 5 (6-1). В первом разряде уменьшаемого к 2 добавим q = 6 и из полученных восьми отнимем 5, получим 3

– первую (с конца) цифру результата., по правилам десятичной с.с.:

• • • •

5300026

424556

36

Точки будут напоминать о том, что из 3 произвели заем одной единицы, а нули заменили 5. Цифра, стоящая во втором разряде уменьшаемого, стала 5, 5 –

• • • •

5300026

424556

31036

В пятом разряде уменьшаемого вместо цифры 3 уже 2, в шестом разряде вычитаемого 4. 2 < 4, следовательно, из шестого разряда уменьшаемого займем единицу (5-1 = 4), а в пятом разряде уменьшаемого к 2 добавляем q = 6, получим 8, и теперь из 8 вычтем 4, получим 4.

•

5300026

424556

431036

Точка над 5 означает, что из нее заняли единицу, теперь в шестом разряде уменьшаемого стоит 4. В шестом разряде вычитаемого ничего нет, что подразумевает 0. Итак, 4 – 0 = 4.

•

5300026

424556

4431036

Ответ: 4431036.

Задача. Пользуясь сложением, составить двоично-шестнадцатеричную таблицу.

Решение

016 = 02; 116 = 12, 2 в шестнадцатиричной получается увеличением единицы на 1. 216 = 116 + 116 = 12 + 12 = 210 = 1 • 2 + 0 = 102. 316 = 216 + 116 = 102 + 12 = 112. Далее аналогично. Процесс сложения в двоичной системе счисления представлен в таблице 14.

Таблица 14 Процесс получения двоично-шестнадцатеричной таблицы

Как видим, результаты, полученные увеличением каждого последующего двоичного числа на 1, совпадают с результатами, полученными при непосредственном переводе (таблица 13).

V тип. Дополнительные задачи по системам счисления

Задача. Составить таблицу умножения для пятеричной системы, используя ее, найти 43025 • 3245.

Решение

а) Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления: 0 • 0 = 0 • 1 = 0 • 2 = 0 • 3 = 0 • 4 = 0.

1 • а = а, поэтому 1 • 1 = 1, 1 • 2 = 2; 1 • 3 = 3; 1 • 4 = 4. 25 • 25 = 210 • 210 = 410 = 45.

25 • 35 = 210 • 310 = 610 = 1 • 5 + 1 = 115. 25 • 45 = 210 • 410 = 810 = 1 • 5 + 3 = 135. 35 • 35 = 310 • 310 = 910 = 1 • 5 + 4 = 145. 35 • 45 = 310 • 410 = 1210 = 2 • 5 + 2 = 225. 45 • 45 = 410 • 410 = 1610 = 3 • 5 + 1 = 315.

Итак, получили таблицу 15.