- •Учебно-методический комплекс Учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Цикла ен по специальности
- •080107 «Налоги и налогообложение»
- •Рабочая учебная программа утверждаю:
- •Основание
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •2. Краткое изложение материала (сокращенный курс лекций)
- •Тема 1.Элементы комбинаторики
- •1.1. Размещения
- •1.2. Понятие факториала
- •1.3. Размещения с повторениями
- •1.4. Сочетания
- •Сочетания с повторениями
- •1.6. Перестановки
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Правила комбинаторики
- •Тема 2.Элементы теории вероятностей
- •2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из её определения. Классификация событий. Диаграммы Венна
- •Полную группу можно определить так: если
- •2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и байеса
- •Необходимо определить вероятность события а и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии а.
- •Тема 4. Дискретные случайные величины.
- •4.1. Определение дискретной случайной величины.
- •4.2.Числовые характеристики.
- •4.3. Математические операции над случайными величинами.
- •4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
- •4.5. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •5.2. Нормальное распределение
- •6. Вариационные ряды и их характеристики
- •6.1.Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов.
- •6.2. Числовые характеристики вариационного ряда
- •7. Выборочный метод и статистическое оценивание
- •7.1. Основные понятия и определения выборочного метода
- •7.2. Статистическое оценивание
- •7.3. Ошибки выборки
- •Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора
- •7.4. Определение численности (объема) выборки
- •Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
- •7.5. Интервальное оценивание
- •Тема 8. Проверка статистических гипотез
- •Статистическая проверка гипотез
- •3. Методические указания к выполнению курсовой работы, а также методические указания в целом
- •Задачи к теме 1 «Комбинаторика».
- •Задачи к теме 2 «Основные теоремы теории вероятностей».
- •Задачи к теме 3 «Формулы полной вероятности и Байеса».
- •Задачи к теме 4 «Законы распределения дискретных случайных величин».
- •Задачи к теме 5 «Законы распределения непрерывных случайных величин».
- •Задачи к теме 6 «Вариационные ряды и их характеристики».
- •Задачи к теме 7 «Выборочный метод и статистическое оценивание».
- •Задачи к теме 8 «Статистическая проверка гипотезы».
- •5. Контроль знаний (тесты, билеты, вопросы для экзамена, зачета) тесты
- •Тема 1. Комбинаторика
- •Тема 2. Основные определения, понятия и теоремы теории вероятностей
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и Байеса
- •Тема 4. Случайные величины
- •Тема 5 . Закон больших чисел
- •Тема 6. Вариационный ряд и его числовые характеристики
- •Тема 7. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях
- •Тема 8. Статистическая проверка гипотез
- •Экзаменационные билеты
- •Вопросы к экзамену (зачету)
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •6. Сведения о ппс
- •7. Деловые игры и хозяйственные ситуации, используемые при проведении практических занятий
- •Дополнительный материал Глоссарий
- •Статистические таблицы
4.2.Числовые характеристики.
Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называется:
( 4.4)
В случае бесконечного множества значений в правой части (4.4) находится ряд, и мы будем рассматривать только те значения Х, для которых этот ряд абсолютно сходится.
М(Х)представляет собой среднее ожидаемое значение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами:
М(С)=С, где С=const
M (CX)=CM (X) (4.5)
M (X+Y)=M(X)+M(Y), для любых Х и Y.
M (XY)=M (X)M(Y), если Х и Y независимы.
Для оценки степени рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения M(X)=а вводятся понятиядисперсии D(X)и среднего квадратического (стандартного) отклонения.Дисперсиейназывается математическое ожидание квадрата разности(X-),т.е. :
D(X)=M(X-)2=pi,
где =М(X);определяется как квадратный корень из дисперсии, т.е..
Для вычисления дисперсии пользуются формулой:
(4.6)
Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:
D(C)=0, где С=сonst
D(CX)=C2D(X), (CX)=C(X)(4.7)
3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),
если Х и У независимы.
Размерность величин исовпадает с размерностью самой случайной величины Х, а размерность D(X) равна квадрату размерности случайной величины Х.
4.3. Математические операции над случайными величинами.
Пусть случайная величина Х принимает значения с вероятностями а случайная величина Y- значения с вероятностями Произведение КX случайной величины Х на постоянную величину К - это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями , что и случайная величина Х, принимает значения, равные произведениям на К значений случайной величины Х. Следовательно, ее закон распределения имеет вид таблица 4.2:
Таблица 4.2
-
...
...
Квадратслучайной величины Х, т.е., - это новая случайная величина ,которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Х, принимает значения, равные квадратам ее значений.
Суммаслучайных величин Х и У - это новая случайная величина, которая принимает все значения видас вероятностями, выражающими вероятность того, что случайная величина Х примет значениеа У - значение, то есть
(4.8)
Если случайные величины Х и У независимы, то:
(4.9)
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин Х и У.
Разностьслучайных величин Х и У - это новая случайная величина, которая принимает все значения вида, апроизведение- все значения видас вероятностями, определяемыми по формуле (4.8), а если случайные величины Х и У независимы, то по формуле (4.9).
4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
Рассмотрим последовательность n идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:
1. Каждое испытание имеет два исхода, называемые успех и неуспех.
Эти два исхода - взаимно несовместные и противоположные события.
Вероятность успеха, обозначаемая p, остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха обозначается q.
Все n испытаний - независимы . Это значит, что вероятность наступления события в любом из n повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.
Вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно m раз ( в любой последовательности), равна
(4.10)
где q=1-р.
Выражение (4.10) называется формулой Бернулли.
Вероятности того, что событие наступит:
а) менее m раз,
б) более m раз,
в) не менее m раз,
г) не более m раз - находятся соответственно по формулам:
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р; вероятности возможных значений Х = 0,1,2,..., m,...,n вычисляются по формуле Бернулли (таблица 4.3).
Таблица 4.3
Число успехов Х=m |
0 |
1 |
2 |
... |
m |
... |
n |
Вероятность Р |
|
|
|
... |
|
... |
|
Так как правая часть формулы (4.10) представляет общий член биноминального разложения , то этот закон распределения называютбиномиальным. Для случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону, имеем:
M(X)=nр (4.11)
D(X)=nрq (4.12)
Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы (4.10) пользуются приближенной формулой:
(4.13)
где m - число появлений события в n независимых испытаниях, ( среднее число появлений события в n испытаниях).
Выражение (4.13) называется формулой Пуассона. Придавая m целые неотрицательные значения m=0,1,2,...,n, можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле (4.13), который называется законом распределения Пуассона (таблица 4.4):
Таблица 4.4
M |
0 |
1 |
2 |
... |
m |
... |
n |
Pn;m |
... |
... |
Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства. Например, число машин, прибывших на автомойку в течении часа, число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 километров, число мест утечки воды на 100 километров водопровода, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествий.
Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального распределения, то n должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а nр< 10.
Математическое ожидание к дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , которая определяет этот закон, т.е.
M(X)=D(X)=np=. (4.14)