- •Учебно-методический комплекс Учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Цикла ен по специальности
- •080107 «Налоги и налогообложение»
- •Рабочая учебная программа утверждаю:
- •Основание
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •2. Краткое изложение материала (сокращенный курс лекций)
- •Тема 1.Элементы комбинаторики
- •1.1. Размещения
- •1.2. Понятие факториала
- •1.3. Размещения с повторениями
- •1.4. Сочетания
- •Сочетания с повторениями
- •1.6. Перестановки
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Правила комбинаторики
- •Тема 2.Элементы теории вероятностей
- •2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из её определения. Классификация событий. Диаграммы Венна
- •Полную группу можно определить так: если
- •2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и байеса
- •Необходимо определить вероятность события а и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии а.
- •Тема 4. Дискретные случайные величины.
- •4.1. Определение дискретной случайной величины.
- •4.2.Числовые характеристики.
- •4.3. Математические операции над случайными величинами.
- •4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
- •4.5. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •5.2. Нормальное распределение
- •6. Вариационные ряды и их характеристики
- •6.1.Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов.
- •6.2. Числовые характеристики вариационного ряда
- •7. Выборочный метод и статистическое оценивание
- •7.1. Основные понятия и определения выборочного метода
- •7.2. Статистическое оценивание
- •7.3. Ошибки выборки
- •Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора
- •7.4. Определение численности (объема) выборки
- •Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
- •7.5. Интервальное оценивание
- •Тема 8. Проверка статистических гипотез
- •Статистическая проверка гипотез
- •3. Методические указания к выполнению курсовой работы, а также методические указания в целом
- •Задачи к теме 1 «Комбинаторика».
- •Задачи к теме 2 «Основные теоремы теории вероятностей».
- •Задачи к теме 3 «Формулы полной вероятности и Байеса».
- •Задачи к теме 4 «Законы распределения дискретных случайных величин».
- •Задачи к теме 5 «Законы распределения непрерывных случайных величин».
- •Задачи к теме 6 «Вариационные ряды и их характеристики».
- •Задачи к теме 7 «Выборочный метод и статистическое оценивание».
- •Задачи к теме 8 «Статистическая проверка гипотезы».
- •5. Контроль знаний (тесты, билеты, вопросы для экзамена, зачета) тесты
- •Тема 1. Комбинаторика
- •Тема 2. Основные определения, понятия и теоремы теории вероятностей
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и Байеса
- •Тема 4. Случайные величины
- •Тема 5 . Закон больших чисел
- •Тема 6. Вариационный ряд и его числовые характеристики
- •Тема 7. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях
- •Тема 8. Статистическая проверка гипотез
- •Экзаменационные билеты
- •Вопросы к экзамену (зачету)
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •6. Сведения о ппс
- •7. Деловые игры и хозяйственные ситуации, используемые при проведении практических занятий
- •Дополнительный материал Глоссарий
- •Статистические таблицы
Полную группу можно определить так: если
для любой пары (i j), тогда A1, A2, … , An - полная группа событий.
Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.
Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов - N.
-
(2.1)
где M - целое неотрицательное число,
0 M N
Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Если, к примеру, некоторая фирма в течение времени провела опрос 1000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1000=0,02. В этом примере 20 - это частота наступления события, а 20/1000=0,02 - это относительная частота.
Относительной частотой события называется отношение числа испытаний m, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний n.
-
(2.2)
где m - целое неотрицательное число,
0 m n
Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать её Р*(А). Следовательно,. При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т.е. Р* (A) Р(A)
Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать “модель игры “, в данном случае - кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это - априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это - апостериорная (послеопытная) вероятность. То есть классическая вероятность - априорная, а статистическая - апостериорная.
Какой бы вид вероятности не был выбран для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.
Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.
1. Вероятность достоверного события равна 1, то есть Р() = 1.
Действительно, если событие А = , то M = N, значит Р() = N/N = 1.
2.Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, то есть Р()= 0.
Если А = , то оно не осуществится ни при одном испытании, то есть M = 0 и Р() = 0/N = 0.
3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.
В самом деле, та к как 0 M N , то 0 M/ N 1, то есть 0 Р(А) 1.
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть . В самом деле,
А отсюда:
-
(2.3)
2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть:
Р (А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
или (2.4)
Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие , а вероятность его равна нулю. Следовательно, для несовместных событий правило сложения вероятностей принимает следующий вид:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
-
Для несовместных событий A, B:
или
(2.5)
Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа n попарно несовместных событий, то есть:
P(A1+A2+A3+...+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...P(An)
или
|
(2.6)
|
В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события.
-
A
AB
B
ABC
AC
C
CB
Рис. 2.3
Для случая трех совместных событий можно записать:
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
Сумма вероятностей событий А1, А2, А3, ... , Аn, образующих полную группу, равна 1, то есть:
P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
или
-
(2.7)
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:
P(AB) = P(A) P(B), |
|
P(A B) = P(A) P(B) |
(2.8) |
или
События А1, А2, ..., An (n > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.
Распространим теоремы умножения на случаи n независимых и зависимых в совокупности событий.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
P(A1 A2A3…An) = P(A1) P(A2) P(A3) … P(An) (2.9)
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
-
Р(АВ) = P(B) Р(А/В)
(2.10)
Р(АВ) = P(B) Р(А/В)
или Р(АВ) = P(A)Р(В/А)
Р(АВ) = Р(A)(В/А)
Вероятность события В при условии появления события А:
P(B/A) = или P(B/A) =
(2.11)
.
Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.
P(A1 A2 A3 ... Аn) = Р(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A1 A2). . . . P(An / A1 A2 A3 … An-1) ( 2.12) |
|
Если события А1, А2, ... An - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:
(2.13)
Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть:
(2.14)