- •Учебно-методический комплекс Учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Цикла ен по специальности
- •080107 «Налоги и налогообложение»
- •Рабочая учебная программа утверждаю:
- •Основание
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •2. Краткое изложение материала (сокращенный курс лекций)
- •Тема 1.Элементы комбинаторики
- •1.1. Размещения
- •1.2. Понятие факториала
- •1.3. Размещения с повторениями
- •1.4. Сочетания
- •Сочетания с повторениями
- •1.6. Перестановки
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Правила комбинаторики
- •Тема 2.Элементы теории вероятностей
- •2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из её определения. Классификация событий. Диаграммы Венна
- •Полную группу можно определить так: если
- •2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и байеса
- •Необходимо определить вероятность события а и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии а.
- •Тема 4. Дискретные случайные величины.
- •4.1. Определение дискретной случайной величины.
- •4.2.Числовые характеристики.
- •4.3. Математические операции над случайными величинами.
- •4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
- •4.5. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •5.2. Нормальное распределение
- •6. Вариационные ряды и их характеристики
- •6.1.Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов.
- •6.2. Числовые характеристики вариационного ряда
- •7. Выборочный метод и статистическое оценивание
- •7.1. Основные понятия и определения выборочного метода
- •7.2. Статистическое оценивание
- •7.3. Ошибки выборки
- •Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора
- •7.4. Определение численности (объема) выборки
- •Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
- •7.5. Интервальное оценивание
- •Тема 8. Проверка статистических гипотез
- •Статистическая проверка гипотез
- •3. Методические указания к выполнению курсовой работы, а также методические указания в целом
- •Задачи к теме 1 «Комбинаторика».
- •Задачи к теме 2 «Основные теоремы теории вероятностей».
- •Задачи к теме 3 «Формулы полной вероятности и Байеса».
- •Задачи к теме 4 «Законы распределения дискретных случайных величин».
- •Задачи к теме 5 «Законы распределения непрерывных случайных величин».
- •Задачи к теме 6 «Вариационные ряды и их характеристики».
- •Задачи к теме 7 «Выборочный метод и статистическое оценивание».
- •Задачи к теме 8 «Статистическая проверка гипотезы».
- •5. Контроль знаний (тесты, билеты, вопросы для экзамена, зачета) тесты
- •Тема 1. Комбинаторика
- •Тема 2. Основные определения, понятия и теоремы теории вероятностей
- •Тема 3. Формулы полной вероятности и Байеса
- •Тема 4. Случайные величины
- •Тема 5 . Закон больших чисел
- •Тема 6. Вариационный ряд и его числовые характеристики
- •Тема 7. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях
- •Тема 8. Статистическая проверка гипотез
- •Экзаменационные билеты
- •Вопросы к экзамену (зачету)
- •Раздел 1. Элементы теории вероятностей
- •Раздел 2. Математическая статистика
- •6. Сведения о ппс
- •7. Деловые игры и хозяйственные ситуации, используемые при проведении практических занятий
- •Дополнительный материал Глоссарий
- •Статистические таблицы
7.2. Статистическое оценивание
Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объема n, причем значение признаках1 наблюдаетсяm1 раз,х2m2 раз,...,хk наблюдаетсяmk раз,- объем выборки.
Мы можем сопоставить каждому значению xi относительную частотуmi/n.
Статистическим распределением выборки называют перечень возможных значений признака xi и соответствующих ему частот или относительных частот (частостей) mi (wi).
Числовые характеристики генеральной совокупности, как правило неизвестные, (средняя, дисперсия и др.) называют параметрами генеральной совокупности (обозначают, например,или, ). Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей и обозначаетсяр.
По данным выборки рассчитывают числовые характеристики, которые называют статистиками (обозначают , или ,, выборочная доля обозначаетсяw). Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Поэтому статистика, полученная из выборки, является толькооценкойнеизвестного параметра генеральной совокупности.Оценка параметра - определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называютточечной оценкой.
В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова.
Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т.е. ≈
Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: -выборочная дисперсия;- исправленная выборочная дисперсия3. -исчисляется при, а - при. Причем в математической статистике доказывается, что
или (7.1)
При больших объемах выборки ипрактически совпадают.
Генеральное среднее квадратическое отклонение так же имеет 2 точечные оценки:- выборочное среднее квадратическое отклонение и- исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.используется для оцениванияпри, адля оценивания, при;при этом, а.
7.3. Ошибки выборки
Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности:, либо.
Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.
(7.2)
где -средняя по совокупности выбранных единиц,
- средняя по генеральной совокупности,
- среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.
Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой , можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.
Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки , гарантируемым с некоторой вероятностью Р, величиной t и средней ошибкой выборки.
Cогласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик (при n ³30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно:
(7.3)
где Ф0(t) - функция Лапласа.
Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах: при n ³30 - в таблице значений Ф0(t), а при n < 30 в таблице распределенияt-Стьюдента. Неизвестное значениепри расчете ошибки выборки заменяется
В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по разному:
Таблица 7.1