Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_LUN

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Можно представить Z-преобразование как оператор сдвига во времени, т.е. умножение на z эквивалентно сдвигу вперед, а деление на z – сдвигу назад

X x n exp jn

Лекция 5 Практическое занятие 1 5.1 Z-преобразование

Причины популярности:

-максимальная компактность записи сигналов и цифровых операторов (фильтров)

-сравнительно легко использовать для проектирования (синтеза) цифровых операторов (фильтров)

-описание цифрового оператора (фильтра) расположением полюсов и нулей на комплексной плоскости – очень выразительно!

X z x n z n

Вывод – если разложить Z-образ сигнала (оператора) в степенной ряд по z, то можно восстановить сигнал –

коэффициенты при соответствующих степенях переменной

Пример (прямая задача)

Задан сигнал в форме отсчетов –

x(n) = 1, 0.8, 0.64, 0.512,…. (начиная с n = 0).

Найти его Z-образ

X z x n z n 1 z 0 0.8 z 1 0.64 z 2 0.512 z 3 .......

n 0

	1		z

	1 0.8z 1		z 0.8

Пример (обратная задача)

Задан Z-образ сигнала

X z 1

z 1.2

Найти (восстановить) цифровой сигнал x(n)

	1			z 1		1
X z					z 1 1 1.2z 1
	z 1.2			1.2z 1
		1					....
z 1 1 1.2z 1				1.2z 1 2		1.2z 1 3
z 1 1.2z 2 1.44z 3 ....
Откуда x(n) =			0, 1, -1.2, 1.44, ……

Замечания:

Хотя оба сигнала бесконечны во времени, их Z-образы компактны! Если подставить z exp j

то Z-образ примет вид Преобразования Фурье

5.2 Таблица соответствия сигнала и Z-образа

n 1

u n

z 1

r n

z 1 2

anu n

1 an u n

z 1 a

z a z 1

Путь решения – представить Z-образ в виде суммы

простых дробей типа

Пример (обратная задача)

Задан Z-образ сигнала

X z

z 1 2z 1 z

Найти (восстановить) цифровой сигнал x(n)

Решение (1-й способ):

Представим Z-образ в виде суммы простейших

рациональных дробей:

X z

z 1 2z 1 z

z 1

A 2z2

3z 1 B 2z2 z

C z2

z 1 2z 1 z

Для определения коэффициентов А, В и С

составим систему уравнений

2A 2B C

0 A 1,

B 1,

C 4

3A B C

A 1

X z

Тогда Z-образ можно представить в виде:

z 1 2z 1 z

Откуда

0.5

x n n 1 u n 1 2 0.5 n 1u n 1

1			4

z 1			2z 1

или: x(n) = 0, 0, 0, 0.5, 0.75, 0.875, …..

Решение (2-й способ):

Представим, что заданный Z-образ описывает цифровой оператор, т.е. это функция импульсного отклика (передаточная функция) линейной системы. Тогда

H z	Y z	1
	X z	z 1 2z 1 z

Y z z 1 2z 1 z X z

Y z 2z3 3z2 z X z

Откуда разностное уравнение будет выглядеть следующим образом: y n 1.5y n 1 0.5y n 2 0.5x n 3

Это – рекурсивный фильтр.

Чтобы найти функцию импульсного отклика, надо на вход фильтра подать сигнал в виде

Дельта-функции. Тогда h n 1.5h n 1 0.5h n 2 0.5 n 3

Откуда h(n) = 0, 0, 0, 0.5, 0.75, 0.875, ….. (Тот же результат!!!)

Лекция4 Математические аспекты. Матричная Алгебра, теория вероятности 4.1 Основные сведения из матричной алгебры

Матрица (изображение) Транспонирование Комплексное сопряжение Единичная Нулевая

Сумма матриц (изображений)

A a m, n AT a n, m

A a m, n

I m n O 0

A B a m, n b m, n

Сведения из матричной алгебры (продолжение)

	Умножение на скаляр	A a m, n
		K
	Перемножение матриц	c m, n a m, k b k, n
	Коммутативность	k 1
	Коммутативность	AB BA
	Скалярное произведение	AB BA
	Скалярное произведение	x, y x T y x n y n
	(если оно равно нулю –	x, y x T y x n y n
	(если оно равно нулю –	n
	ортогональность)	n
	ортогональность)	xyT x m y n
	Векторное произведение

Сведения из матричной алгебры (продолжение)

Симметрия Матрица Эрмита

Детерминант

A AT A A T A

A 1 A AA 1 I

Обратная матрица	A 1
Собственные числа	A k I		0
Собственные числа
Собственные функции
Собственные функции
4.2 Случайные сигналы. ОпределенияA k		k k ,		k	0

Дискретный случайный сигнал или процесс представляет собой последовательность случайных

(недетерминированных) переменных, характеризующихся СРЕДНИМ ЗНАЧЕНИЕМ, ДИСПЕРСИЕЙ

	1		u		2
					2
p u		exp

				2
u	2 2		2	2
	2 2		2

Нормальный закон распределения
(закон Гаусса)	u n n E u n
	u2 n 2 n E	u n n	2

распределение является СТАНДАРТНЫМ нормальным законом. Если

2 1

4.3 Стационарность и независимость Стационарный процесс характеризуется постоянством основных характеристик случайного процесса (среднего, дисперсии…) Независимость двух случайных сигналов означает, что совместная функция плотности

вероятности может быть записана как: px, y x, y px x py y

4.4 Двумерные случайные сигналы Двумерные случайные сигналы (изображения)

характеризуются моментами 1-го и 2-го порядков (средним значением и дисперсией)

Для стационарного двумерного сигнала характерно:

m, n const

ru m, n; m , n

ru m m , n n r m m , n n

т.е. пространственная инвариантность или инвариантность к смещению

Случайный двумерный сигнал называется БЕЛЫМ ШУМОМ, если любые два элемента изображения взаимно некоррелированы,

функция ковариации имеет вид: rx m, n; m , n x2 m, n m m , n n

Ковариационная функция называется сепарабельной, если она может быть представлена произведением ковариаций соответствующих одномерных сигналов:

для нестационарного сигнала	r m, n; m , n r1 m, m r2 n, n
для стационарного сигнала	r m, n r1 m r2 n

4.5 Примеры случайных сигналов Пример 1 – разделимая стационарная функция ковариации

r m, n 2	m		n	,		1,	2		1


1		2			1
при этом дисперсия характеризует
“одношаговую” корреляцию r 1,0 / 2										,	2	r 0,1 / 2
								1			2

Пример 2 - неразделимой ковариационной функции

r m, n 2 exp 1m2 2n2

Если

1 2

то ковариация становится функцией евклидова расстояния

		r m, n 2 d	exp
d	m2 n2

Такая функция называется изотропной и циркулярно симметричной

На практике расчет среднего и ковариационной функции проводится по приближенным формулам

			1	M N
	ˆ		1	u m, n
	ˆ

			MN m 1 n 1
r m, n r m, n
			ˆ
	1	M mN n
	1	u m , n ˆ			u m m , n n ˆ
		u m , n ˆ			u m m , n n ˆ
	MN m 1 n 1

4.6 Краткие сведения из теории информации Предположим, есть источник, генерирующий независимые сообщения (соответствующих некоторым уровням серого)

rk с вероятностью pz k=1,…, L

Тогда количество информации, связанной с rk определяется по формуле

Ik log2 pk , k 1,..., L

При этом pk 1

k 1

Энтропия (с точки зрения информационной теории) определяется как среднее количество информации, генерируемое источником

H pk log2 pk бит/сообщение

k 1

Для цифрового изображения, рассматриваемого как “источник” (ансамбль) независимых пикселей, энтропию можно оценить по гистограмме.

Для заданного L (количества градаций серого) энтропия источника принимает максимальное значение для равномерного (равновероятного)

распределения, т.е.

pk 1/ L, 1,..., L

L	1			1
max H		log			log2 L
			2	L
k 1	L

Например, для источника бинарного изображения

L 2

p1 p, p2 1 p,

H H p p log2 p 1 p log2 1 p

Максимальное значение энтропии при равномерном законе распределения, т.е. max H 1bit, p 1/ 2

Если же появление 0 или 1 неравновероятно, например,

p 1/ 8

H 0.2 bits

и согласно теории информации Шеннона, можно найти схему кодирования таких сообщений, при которой потребуется всего 0.2 бита на сообщение

Лекция 3 3 Математические аспекты. Преобразования

3.1 Преобразование (непрерывное) Фурье

Прямое Фурье-преобразование одномерного сигнала
Прямое Фурье-преобразование одномерного сигнала	F	f x exp j2 x dx
	F	f x exp j2 x dx

Обратное Фурье-преобразование одномерного сигнала:
Обратное Фурье-преобразование одномерного сигнала:	f x		F exp 2 x d
	f x		F exp 2 x d

Преобразование Фурье Должны знать разницу между

Ряд Фурье, преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье, дискретное преобразование Фурье

Разложение по частотам..

Преобразование Фурье – переход из временной области в частотную Проще запоминать – запоминаем частоты и амплитуды

Прямое Фурье-преобразование двумерного изображения:


	F 1, 2 f x, y exp j2 1x 2 y dxdy

Обратное Фурье-преобразование двумерного изображения

	f x, y F		1, 2	exp j2 1x 2 y d 1d 2

3.2 Таблица преобразований
f x, y					F 1, 2
x, y				1
x x0 , y y0				exp j2 x0 1 exp j2 y0				2
exp j2 x	exp j2 y	2		1	1 , 2 2
1		2		exp 12			22
exp x2 y2				exp 12			22
rect x, y				sin c 1 , 2
tri x, y				sin c	2 ,
comb x, y					1	2
comb x, y				comb 1 , 2

Таблица преобразования Нужно зазубрить!

Очень важны финты со смещением координаты (3я формула)..как бы не изменялся сигнал по оси времени, спектр не меняется, меняется фаза!!!

4я формула – умножение на экспоненту в степени жи*фи – сдвиг по фазе (сигнал на комплексной плоскости просто повернётся) ачх не меняется Очень интересная функция (шикарная) 5я сверху =) функция гаусса или распределения

гаусса (для тех кто не помнит тер.вер это функция в виде купола) и в той и в другой области имеет форму купола

Прямоугольник в фурье-пространстве переходит в sinc-функцию Треугольник - свертка 2х прямоугольников!

3.3 Свойства Фурье-преобразования

Отображение

Линейность КомплексноСопряженность Сепарабельность Масштабирование Смещение

f x, y		F 1 , 2
1 f1 x, y 2 f2 x, y	1F1 1, 2 2 F2 1 , 2
f * x, y		F ,			2
f1 x f2 y			1		2
f1 x f2 y		F1	1 F2 2
f ax, by		F	1 / a, 2 / b
f x x0 , y y0				ab
f x x0 , y y0				ab
	exp j2 x0 1 y0 2 F 1 , 2

Свойства Фурье-преобразования Все очень простые

Смещение приводит только к появлению фазы

Свойства Фурье-преобразования (продолжение)
Модуляция		exp j2 1x 2 y f x, y	F 1	1, 2 2
Свертка		exp j2 1x 2 y f x, y	F 1	1, 2 2
Свертка		g x, y h x, y f x, y	G 1	, 2	H 1 , 2	F 1	, 2
Умножение		g x, y h x, y f x, y	G 1	, 2	H 1 , 2	F 1	, 2
Корреляция		g x, y h x, y f x, y	G 1	, 2	H 1 , 2	F	1 , 2
Интегрирование		g x, y h x, y f x, y	G 1 , 2 H 1, 2 F 1, 2
		g x, y h x, y f x, y	G 1 , 2 H 1, 2 F 1, 2

		I h x, y f x, y dxdy	I H 1 , 2 F 1, 2 d 1d 2
Продолжение =)
Продолжение =)
Самое важное:	свёртка и корреляция (результат отличается знаком)
3.4 Понятие собственной функции линейной системы

x, y h x x , y y exp j2 1x 2 y dx dy

x, y H 1, 2 exp j2 1x 2 y

Из сложной формулы нужно выудить запись:

Если на вход линейной системы подаётся сигнал, состоящий из нескольких гармоник (допустим, 4), то на выходе линейной системы не может появится лишней гармоники (больше выйти не может)

Всегда ли возможно? Правила дискретизации. Имеем не целочисленные, а размытые (неопределённые) гармоники.

Чтобы применить быстрое преобразование Фурье, нужно применить кол-во отчётов, кратное 2 в степени (8,16,32)

3.5 Фурье-преобразование дискретного сигнала Преобразование (прямое и обратное) одномерного

дискретного сигнала

X x n exp jn

	n
	1
x n	1		X exp jn
x n	2		X exp jn
	2

Преобразование (прямое и обратное) двумерного
дискретного сигнала

X 1, 2 x m, n exp j m 1								n 2 ,		1, 2
				n
x m, n		1			X , exp j m n d d
x m, n		2			X , exp j m n d d
		2			1	2	1		2	1	2
					1	2	1		2	1	2

3.6 Определение Z-преобразования
Прямое Z-преобразование цифрового двумерного сигнала

X z1, z2 x m, n z1 m z2 n

	m,n
Обратное Z-преобразование - восстановление двумерного сигнала
x m, n	1	X z1	, z2	z1m 1z2n 1dz1dz2

	2
	j2

определение z-преобразования

применять как правило не будем, но должны знать, что это сложная операция Свертка двух функций эквивалентна произведению их Z-образов

Y z1, z2 H z1, z2 X z1, z2
H z1, z2	Y z1, z2
H z1, z2	X z1, z2			z1	1,	z2	1


Область сходимости – единичный круг
Если, в частном случае, z1 exp j 1		,	z2		exp j 2

то Z-преобразование становится преобразованием Фурье свёртка двух функция эквивалентна произведению их z-образов

если агрументы заменить на экспоненты, то z преобразов превращ в фурье.

В случае, если Z-образ сигнала можно разложить в ряд по степеням комплексных переменных , то цифровой двумерный сигнал представляет собой коэффициенты при соответствующих слагаемых ряда этого разложения

3.7 Свойства двумерных Z-преобразований

	x m, n , y m, n , h m, n
Отражение	x m, n
Отражение	1 x1 m, n 2 x2	m, n
	1 x1 m, n 2 x2	m, n
	x m, n
	x1 m x2 n
	x m m0 , n n0
	m n

X z1 , z2 ,Y z1 , z2 , H z1 , z2

X z1 1 , z2 1

1 X1 z1 , z2 2 X 2 z1 , z2

X z1 , z2

X1 z1 X 2 z2

z1 m0 z2 n0 X z1 , z2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.20157.52 Mб74Лекции упр перс.doc
#
24.04.20192.42 Mб36Лекции ЭлМаг Конспект.doc
#
31.03.20154.31 Mб132Лекции(3 сем,2 курс).docx
#
31.03.20151.08 Mб63Лекции(ЯВУ)-Паскаль.doc
#
31.03.20154.21 Mб19Лекции.doc
#
31.03.20151.12 Mб9ЛЕКЦИИ_LUN.pdf
#
31.03.20151.03 Mб36лекции_без_рисунков_старые.pdf
#
31.03.2015289.79 Кб22Лекции_ВМСиС1.doc
#
31.03.20155.79 Mб43Лекции_ВМСиС2.doc
#
31.03.2015613.27 Кб27Лекция 1 матан.docx
#
31.03.20151.6 Mб34Лекция 1 микроэлектроника.doc