ЛЕКЦИИ_LUN

7.4 Оптическая и модуляционная передаточная функции

OTF H 1, 2

H 0,0

H ,

MTF 1 2

H 0,0

Задача. Определить OTF и MTF

h x, y 2sin2 x x0 / x x0 2 sin2 y y0 / y y0 2

Кроме дельта-функции:

Ступенька – нечётные гармоники синусов (1,3,5…) – синк-функция, чем шире прямоугольник, тем больше амплитуда должна быть у образа (но амплитуда = 1, значит первый всплеск будет шире) - площадь исходного сигнала = площади Фурье-образа) Чем, уже, тем больше стремится к дельта-функции Треугольный импульс – в синк-квадрад (треугольник – свертка 2х прямоугольников)

Решение

H 1, 2 2tri 1, 2 exp j2 x0 1 y0 2

OTF tri 1, 2 exp j2 x0 1 y0 2 MTF tri 1, 2

Задача Найти передаточную функцию, частотный отклик,

sinc^2=tri tri(0,0)= 1

Оптическая функция это отношение фурье-образа на постоянную составляющую при аргументах равным нулю (см. предыдущий слайд) – нормировка по постоянной составляющей Модуляционная функция – тоже самое, только для модулей (избавляемся от фазовой зависимости)

Задача: Рекурсивный фильтр

Решение

Найдем Z-образ разностного уравнения y m, n 1 y m 1, n 2 y m, n 1 x m, n

Y z1, z2 1 1z1 1 2 z21 X z1, z2

Откуда

Передаточная функция (рекурсивная) h m, n m, n 1h m 1, n 2h m, n 1

Лекция 6

6 Практическое занятие 2

6.1 Описание цифровых сигналов с помощью нулей и полюсов Любой цифровой сигнал может быть представлен

рациональной дробью, в числителе и знаменателе

которой – многочлены

X z N z D z

Если известны корни числителя (НУЛИ - ) и знаменателя (ПОЛЮСА), то Z-образ запишется как

Будем искать корни и по положению полюсов и нулей будем строить ачх и фчх Отметим, что если цифровой сигнал представляет собой действительную функцию, то корни и числителя, и знаменателя либо действительные числа, либо комплексно-сопряженные!!!

Удобно изображать нули и полюса на комплексной плоскости!! Пример

Изобразить на комплексной плоскости Z-образы

следующих сигналов (цифровых операторов):

u n z z 1

z2 z 1.2 z 1

X z z 0.8 z2 z 0.74

X z z5 1 z2 1

Если Z-преобразование характеризует передаточную функцию цифрового оператора, то положение нулей и полюсов несет важную информацию о стабильности оператора и его амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиках!!!

Для 3го уравнения: Pk= exp (jk72°) - 5 корней

Простейшие случаи: полюс p

y n y n 1 x n 1

h n h n 1 n 1

h n 0,1, , 2 , 3 ,.....

Если 1 то передаточная функция бесконечно возрастает –

система (фильтр) становится неустойчивой α – действительное число, находится где-то на оси х

Степень знаменателя больше, чем у числителя – будет сдвиг, начинаем с момента времени n=1

Наличие полюса говорит о том, что фильтр с обратной связью – рекурсивный фильтр (использует уже полученные значения). Умножение предыдущего члена на α.

Если альфа отрицательная, то будет колебательный процесс… Если альфа = 1, то автовозбуждение – на выходе будет устойчивая «единица» Если альфа = -1, то колебательная либо +1, либо -1.

Альфа положительна и меньше единицы – НЧ Альфа меньше единицы - ВЧ

y n 2 y n 2 x n 2 h n 2h n 2 n 2 h n 0,0,1, 2 ,0, 4 ,0, 6 .....

То же условие - если 1

то передаточная функция бесконечно возрастает – система (фильтр) нестабильна

Полюса на мнимой оси симметрично относительно действительной.

Степень числителя на 2 меньше, чем у знаменателя – первые 2 отчёта нулевые.

Это полосовой фильтр. Должны сразу сказать какие частоты пропускает, какие рубит =) Это самые основы проектирования =)

Стабильность цифрового оператора характеризуется только положением полюсов (внутри, вне или на единичной окружности). Нули могут располагаться где угодно.

Произвольный вариант – 2 полюса на 1й оси комплексно-сопряженные. Есть алгебраическая форма записи (а+јb), есть показательная или експоненциальная (запись через фазу и амплитуду)

Cos взясля из теоремы Эйлера

r2 свободный член…если он больше 1, то полюс торчит из 1й окружности и фильтр неустойчивый

Фильтры 5-го порядка уже качественные.

Бывают хорошие мешающие факторы – устойчивые в полосе частот – на него настроить фильтр легко Самый противный мешающий – гиб трубки

6.2 Оценивание АЧХ по Z-образу передаточной функции

Предположим

z 0.8

H z

z 0.8

Чтобы получить Фурье-образ, надо вместо переменной z подставить

Интерпретация ПФ передаточной функции – комплексный вектор числителя (т.н. вектор-нуль) делится на комплексный вектор знаменателя (т.н. вектор-

Там где полюс, там пропускание. Чем ближе полюс к единичной окружности, тем больше пропускание Двигаем а и добиваемся нужно полосы.

Если альфу увеличивать, то максимум возрастает – сужаем ачх Нужно составить уравнение, из кот будет видно, что полоса пропускания будет гарантировать (π/40) : 1-α = π/40 Решение:

Из условия задачи: полюса располагаются на мнимой оси а нули – на действительной, в точках z 1 Определение расстояния полюса от центра – из условия, что при изменении положения “рабочей точки” на

относительно частоты максимального пропускания, соответствующей вектор-полюс увеличивается по модулю в 1.41 раз Таким образом 1 r / 80

Откуда

откуда К = 0.03824

Как только посчитали альфа (или r) записываем Z-образ. После группировки получает красивое (кто бы сомневался) выражение.

Когда нашли К, подставляе6м его в передаточную функцию. Рекурсивное разностное уравнение

y n 0.9235y n 2 0.03824 x n x n 2

Пример:

Спроектировать заграждающий фильтр на частоту 50 Гц с полосой / 50

при условии, что сигнал дискретизирован с частотой 1000 Гц Цифровой фильтр готов! =)

Как спроектировать заграждающий фильтр? Частоту выбираем 500Гц, 50Гц это п/10

Нули располагаем на 1й окружности недалеко от п (дуги по п/10), полюса располагаем на тех же радиусах очень близко к нулям