ЛЕКЦИИ_LUN
.pdf
Система (2L-1) нелинейных уравнений!!Решение – итерационным методом Ньютона
Сначала принимаем равномерное разбиение, рассчитывается rk
Полученные результаты позволяют заключить, что оптимальное положение точек разбиения ровно посередине между точками восстановления (реконструкции), которые, в свою очередь, лежат в «центре массы» функции плотности вероятности на участке. В том случае, если число уровней квантования велико,то решение выражается по формуле
|
t0 |
zk |
u |
|
|
|
A |
pu |
|
||
|
|
|
1 3 |
|
|
tk 1 t0 |
|
t0 |
|
|
|
tL |
pu u |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
1 3 |
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
A tL t0 , |
zk A k L , |
k 0,..., L 1 |
|||
Уровни реконструкции определяются как средние накаждом участке разбиения.
Предложена формула, запоминать не нужно
В этом случае средне-квадратическая погрешность равна
|
1 |
tL |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
pu |
u |
3 du |
|
2 |
|||||
|
12L |
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это полезная формула, так как она дает оценку погрешности квантования по значению плотности вероятности и числу интервалов квантования. Два наиболее распространенных закона распределения плотности вероятности – закон Гаусса и Лапласа
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
p u |
|
|
exp |
|
u |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
u |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p u exp |
|
u |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оптимальное расположение точек разбиения и реконструкции для этих законов приводятся в таблицах
2 классических закона. Знать обязаны:
Угаусса 2п для того чтобы , площадь равнялась единицы от интеграла.
УЛапласа отсутствует в нуле (или мю)
9.3Линейный квантователь
Для равномерного закона распределения плотности вероятности формулы для оптимального квантователя будут иметь вид
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t0 u tL |
|
|
|
|
||||
pu u |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
tL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
иначе |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Равновероятное распределение |
||||||||||||||||||||
r |
t 2 |
t 2 |
|
t |
k 1 |
t |
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k 1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
2 tk 1 tk |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tk 1 tk tk tk 1 q, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
q |
tL t0 |
, |
t |
|
|
t |
|
q, |
r t |
|
|
q |
|
|||||||
|
k |
k 1 |
k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ошибка (шум) квантования равен
|
1 |
q |
|
|
|
|
2 u2du |
q2 |
|||
|
|
|
|||
|
q |
|
q |
12 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
Дисперсия равномерно распределенной случайной переменной с диапазоном изменения А равна (В – число используемых бит)
2 |
|
A2 |
, |
q |
A |
|
|
|
B |
||||
u |
12 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|||
Тогда отношение (полезный) сигнал/шум (квантования) определяется по формуле
|
2 2B |
|
SNR 10 log |
|
22B 6B dB |
|
|
10 |
|||||
u2 |
||||||
|
|
|
|
То есть 6 децибел на каждый бит!!
Самая интересная вещь, кот нужно задолбить в голове, как будущие специалисты при условии равномерного распределения Добавление одного бита в ацп приводит к увеличению snr на 6 дБ Шум - погрешность квантования.
Лекция 8 Двумерная дискретизация 8.1 Оцифровка и визуализация изображений
Основное требование при компьютерной обработке изображений – трансформация
(физически непрерывной) функции в дискретную форму. Оцифровка включает в себя последовательное выполнение двух операций:
-дискретизации
-квантования
f x, y fS x, y u m, n
Непрерывная функция должна пройти 2 операции Дискретизация (sampling) по пространству и квантование
Из исходной непрерывной функции мы должны получить матрицу действительных чисел
Процедура визуализации изображения предусматривает операцию дискретно-аналогового преобразования
u m, n
Обратная процедура не всегда корректна!
8.2 Теория дискретизации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математически процесс дискретизации |
|
|
|
|
||||||||||
изображения продемонстрируем для |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
двумерной функции с ограниченным спектром |
|
|||||||||||||
Двумерная функция f x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет ограниченный |
|
|
F 1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
спектр, если для Фурье-образа |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
выполняется условие F , |
2 |
0, |
|
|
|
|
x0 |
; |
|
|
2 |
|
|
y0 |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где переменные x0 ; y0
максимальные пространственные частоты по x и y В случае циркулярной симметрии
0 x0 y0
Есть некая функция, которая ограниченна см рисунок
Все сигналы имеют ограниченный спектр
Идеальная дискретизирующая функция представляет собой (бесконечный) двумерный массив Дельта-функций, расположенных в узлах прямоугольной регулярной сетки
|
|
comb x, y; x, y |
x m x, y n y |
|
m,n |
Комб-функция, эта дельта-функции, кот расставлены в узлах сетки Здесь еще добавлен щаг по х и по у дискретизация – это перемножение Фурье-образа и комб-функции
Проблема при проведении фильтрации: чтобы максимумы (кочки) не налезли друг на друга
Операция дискретизации есть произведение исходной функции на дискретизирующую
fS x, y f x, y comb x, y; x, y
|
|
|
f m x, n y x m x, y n y |
|
m,n |
Фурье-образ дискретизирующей (comb) функции есть функция, имеющая тот же вид, что и исходная
COMB 1, 2 F comb x, y; x, y
|
|
|
|
|
1 k xs , 2 l ys |
|||
xs ys |
|
|||||||
|
|
|
k ,l |
|
|
|
|
|
|
|
|
comb |
, ; 1 |
x |
, 1 |
|
|
|
xs |
ys |
|
1 |
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
Пространственные частоты дискретизации по координатным направлениям равны величинам, обратным соответствующим шагам дискретизации
xs 1 x , ys 1 y
Чем меньше шаг, тем больше будет кси (пространственная частота; размерность 1/м)
Воспользуемся правилом, согласно которому произведение функций в исходном пространстве эквивалентно свертке соответствующих Фурье-образов
FS 1, 2 F 1, 2 COMB 1, 2
|
|
1 k xs , 2 l ys |
|
|
xs ys |
F 1, 2 |
|||
|
k ,l |
|
|
|
|
|
|
|
|
xs ys |
F 1 k xs , 2 l ys |
|
||
k ,l
Фурье-образ дискретизированной функции = операция свёртки Фурье-образа и комб-функции Кси (икс-эс) и кси (игрик-ес) – частоты дискретизации по х и у
Фурье-образ дискретизированной функции представляет собой периодическую (бесконечную) комбинацию Фурье-образа исходной (непрерывной) функции, продублированного в узлах сетки
Продублирована многократно
8.3 Восстановление непрерывной функции Если спектр исходного (непрерывного) изображения
может быть каким-либо образом восстановлен из спектра дискретного, то мы можем восстановить и исходную функцию.
Это возможно, если выполняются условия
xs 2 x0 , |
ys 2 y0 |
что эквивалентно условию выбора шагов дискретизации, удовлетворяющих
x |
1 |
, |
y |
1 |
|
|
|||
2 x0 |
2 y0 |
Применить к функции некий фильтр, убить Фурье-образы с высокочастотными составляющими и центры «кочек» должны быть удалены на расстояние 2 частоты дискретизации (лучше брать раз в 5 больше)
В этом случае “сохранить” Фурье-образ исходной функции можно, применив идеальный низкочастотный фильтр со следующими характеристиками
|
|
|
1 |
|
, |
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
H 1, 2 |
xs |
ys |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
0, |
|
|
иначе |
|
|
|
|
|
|
|||
При этом результат действия фильтра приводит к исходному Фурье-образу
~ |
1, 2 |
H 1, 2 FS |
1, 2 F 1, 2 |
F |
Привлекаем фильтрацию – как в тесте стаканом выдавливаем часть =) Должны перемножить 2 Фурье-образа и при этом получим исходный только в том случае, если ничего не возьмём от другого (никаких частот-) «горбика»
8.4 Частота Найквиста Нижние границы пространственных частот,
при которых возможно сохранение (восстановление) спектра исходной функции
2 x0 , 2 y0
называются (пространственными) частотами Найквиста (Котельникова)
Теория дискретизации констатирует, что функция
сограниченным спектром, дискретизированная
счастотой выше частоты Найквиста, может быть восстановлена без ошибки с помощью простейшего (идеального) низкочастотного фильтра
Если же условие не выполняется, т.е. xs 2 x0 , ys 2 y0 то (соседние) Фурье-образы будут накладываться друг
на друга, тем самым искажая исходный спектр
Если область “поддержки” низкочастотного фильтра представляет собой прямоугольник
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
xs |
, |
|
xs |
|
|
ys |
, |
|
xs |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то его импульсный отклик есть произведение SINC-функций
h x, y sin c x xs sin c y ys
Если хотим применить прямоугольный импульс (идеальный НЧ), то исходная функция (передаточная функция) будет предоставлять сбой синк (в двумерном случае синк*синк)
Обратное Фурье-преобразование реконструирует изображение по формуле
~ |
x, y |
|
f |
f m x, n y sin c x xs m sin c y ys n |
|
|
|
m,n |
результат будет совпадать с исходной функцией, если выполняется условие дискретизации Найквиста-Котельникова
Если работаем с функцией в дискретном виде, то функция существует лишь в узловых точках.
Запомните эту формулу!!!! =)
8.5 Теорема дискретизации Двумерная (непрерывная) функция с ограниченным спектром f x, y
может быть однозначно (безошибочно) восстановлена из дискретной f m x, n y
при условии, что шаги дискретизации выбраны из условия
1 |
|
xs 2 x0 , |
1 |
ys 2 y0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
y |
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Восстановление функции проводится по |
|
|
|
|||||||||
интерполяционной формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f x, y |
|
sin x |
|
m sin y ys n |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
xs |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f |
m x, n y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y ys |
n |
|
|||||
|
|
|
|
x xs |
m |
|
|
|||||
m,n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь синк записан через синус Только в том случае, если угадали с частотой дискретизации
Задача
Изображение описывается функцией f x, y 2 cos 2 3x 4y
Дискретизация функции проводится |
|
со значениями интервалов дискретизации x 0.2, |
y 0.2 |
Восстановить функцию после дискретизации |
|
В задании заведомо выбран шаг дискретизации, не отвечающий теореме Котельникова. От (-2 до +2) периодическая, с разной частотой На эту функцию обрушиться своим дискретизатором!
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
F 1, 2 1 3, 2 |
4 1 3, 2 4 |
|||
Фурье-образ заданной функции |
|||||||||||||
Откуда x0 3, |
y0 4 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Частоты дискретизации |
|
|
xs |
5, |
ys |
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|||
меньше частоты Найквиста-Котельникова |
2 x0 , |
2 y0 |
|||||||||||
Найдем спектр дискретизированного изображения: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FS 1, 2 xs ys |
F 1 k xs , 2 l ys |
|
|
||||||||||
|
|
k ,l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 1 3 5k, 2 4 5l 1 3 5k, 2 4 5l |
|||||||||||||
k ,l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим низкочастотный фильтр |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
, 2.5 1 |
2.5, |
2.5 2 2.5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
xs ys |
|
|
|||||||||||
H 1, 2 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
иначе |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем спектр дискретизированного изображения: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FS 1, 2 xs ys |
F 1 k xs , 2 l ys |
|
|
||||||||||
k ,l
25 1 3 5k, 2 4 5l 1 3 5k, 2 4 5l
k ,l
Применим низкочастотный фильтр
|
|
|
1 |
|
|
1 |
, |
2.5 1 2.5, 2.5 2 |
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H 1, 2 |
xs |
ys |
|
|
|||||||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
иначе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
1 |
, 2 |
|
Получим Фурье-образ |
|
F 1, 2 H 1, 2 FS |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2, 2 1 1 2, 2 1 |
|
||
который при восстановлении дает функцию |
|
~ |
cos 2 2x y |
||||||||
|
f x, y 2 |
||||||||||
Лекция 7 Практическое занятие 3 7.1 Свертка и Теплициевы матрицы
Определение – (обычная) теплициевая матрица обладает следующими свойствами
t0 |
t 1 |
t 2 |
|
t N 1 |
|
||||
|
t |
t |
|
t |
|
|
t |
|
|
T |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
N 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tN 1 |
t2 |
t1 |
|
t0 |
|||||
Циркулярная теплициева матрица выглядит так:
c0 |
c1 |
c2 |
|
cN 1 |
|
||
c |
|
c |
c |
|
c |
|
|
C |
N 1 |
0 |
1 |
|
|
N 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cN 2 |
cN 1 |
|
|
|
|
c1 |
c0 |
|||||
Задача Получить теплициеву матрицу для реализации
линейной свертки сигнала с передаточной функцией
|
4 |
y n h n x n h n k x k |
|
h n n, |
k 0 |
1 n 1, |
|
Обычная теплицева матрица для линейной свёртки прямоугольная {-1,0,1} дифференциатор =)
Количество 5+3-1=7
y(-1)= h(-1)*x(0)+h(-2)*x(n) Но h(-2) не существует y(0)= h(0)*x(0)+h(-1)*x(-1)
y(1)= h(1)*x(0)+h(0)x(1)+h(-1)*x(2)
.
.
.
y(5)=h(1)*x(4)
Решение: y 1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
y 0 |
|
|
|
0 |
1 0 0 |
0 |
|
x 0 |
|||
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 0 |
0 |
|
|||||
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
0 0 1 0 |
1 |
|||||||||
|
|
x 3 |
||||||||||
|
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x 4 |
|||||||
y 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 0 0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Знаем, что размер входного сигнала 5, а выходного 7. 5 столбцов 7 строк.