2.3. Граничные интегральные уравнения для расчета деталей мс с линейными магнитными свойствами

При формулировке краевых задач расчета МС на основе ГИУ второго рода используются математические модели ферромагнитных областей, опирающиеся на приближенные аппроксимации относительной магнитной проницаемости вещества по объему. Простейшая модель (см. § 1.1) детали из изотропного безгистерезисного материала строится при допущении постоянства относительной магнитной проницаемости по всему объему, что позволяет свести задачу к расчету источников, распределенных только по поверхностям раздела разнородных элементов МС.

Согласно уравнениям Максвелла (1.1) на границе раздела разнородных сред, в данном, случае на поверхности 5 детали, для, нормальных составляющих напряженности поля выполняется равенство

. (2.23)

Так как напряженность поля представляется суммой вихревой и потенциальной составляющих, то условие (2.23) для скалярного потенциала принимает вид

. (2.24)

В отличие от условий на границе области, использованных в § 2.2, условия (2.23), (2.24) указывают не значение компоненты вектора, а на свойство непрерывности. Подставив в (2.24) интегральные выражения для нормальных производных скалярного потенциала с внутренней (2.9) и внешней (2.10) сторон ограничивающей поверхности, получим интегральное уравнение для расчета плотности магнитных зарядов [22]

. (2.25)

где -напряженность поля, созданная всеми остальными источниками МС, как вихревыми, так и потенциальными;- коэффициент, характеризующий свойства граничащих сред.

В [18] подробно исследованы свойства уравнения (2.25) и показано, что при конечных значениях - такое уравнение имеет единственное решение. Однакобольшинства элементов МС из магнитномягких материалов очень высока, а в ряде случаев при расчетах принимается бесконечное значение. При этом уравнение (2.25) становится близким или полностью аналогичным уравнению (2.9) для внутренней второй краевой задачи, которое не может быть разрешимо без дополнительных условий. Достаточное дополнительное условие, указывающее на дипольный характер источников в ферромагнитных областях, заключается в равенстве нулю суммарного заряда на замкнутой, ограничивающей деталь поверхности (2.11). Регуляризованное уравнение (2.25) с учетом условия (2.11) имеет единственное решение и вполне корректно описывает распределениепри любых значениях. [см. также (2.12)]:

. (2.26)

Если деталь из ферромагнитного материала заменяется набором элементарных объемов с постоянным значением , то вид расчета уравнения остается таким же (2.26), но интегрирование теперь производится уже по всем поверхностям, образующим элементарные объемы.

Известно (см. § 1.1), что ферромагнитную деталь с непостоянной по объему при расчете можно рассматривать как совокупность объемных и поверхностных зарядов. Используя определение объемного магнитного заряда (1.15) и основные соотношения между векторами стационарного магнитного поля, нетрудно получить выражение, связывающее, которая выступает как функция точки наблюдения, и объемную плотность магнитного заряда:

. (2.27)

Напряженность поля записывается через объемный и поверхностный заряд:

. (2.28)

Далее (2.28) подставляем в (2.27) и получаем ГИУ второго рода для объемной плотности магнитного заряда.

. (2.29)

Вывод ГИУ для поверхностной плотности заряда аналогичен изложенному выше, но появляется еще слагаемое от объемных зарядов. Улучшение свойств разрешимости таких ГИУ проводится путем учета априорно известных интегральных свойств вторичных источников - равенства нулю суммарного магнитного заряда в ферромагнитном теле:

.

Кроме ГИУ относительно скалярных источников (2.26), (2.29.) в условиях, когда реальная магнитная среда заменяется моделью с кусочно-постоянным распределением , оказывается возможным формулирование ГИУ второго рода относительно векторных вторичных источников: слоев токов и магнитных моментов. Такие источники должны быть помещены на всех поверхностях ограничивающих области с постоянным значением. Используя понятиеи соотношение между основными векторами магнитного поля (1.2), равенство (1.16) для простого слоя токов перепишем в виде

. (2.30)

Вихри векторного потенциала в (2.30) при расположении точки наблюдения с внешней или внутренней стороны поверхности с током определены формулами (2.20), (2.21). После подстановки этих формул в (2.30) получим искомое ГИУ

. (2.31)

где - индукция, созданная остальными источниками поля.

Свойства такого уравнения при больших значениях , отмечены в предыдущем параграфе.

Наряду с рассмотренными основными способами получения ГИУ для расчета отдельных элементов МС со стационарным полем отметим еще существующую возможность формирования ГИУ для элементов МС из анизотропного материала при постоянном значении тензора . Здесь используется принцип разделения задачи на области: в каждой из областей вводится свой поверхностный источник, который рассчитывается из условий «сшивания» параметров поля на границе [28, 29]