3.1. Источники электромагнитного поля

Существование и наблюдение электромагнитного поля связано с проявлением в рассматриваемом пространстве известных физических закономерностей. К ним относятся: возникновение сил, действующих на проводник с током в магнитном поле (сила Ампера), заряд, движущийся в магнитном поле (сила Лоренца) и заряд в электрическом поле (сила Кулона). Также нетрудно наблюдать возникновение индуцированных ЭДС (электрического поля) в переменном магнитном поле (закон электромагнитной индукции Фарадея) или в движущемся в магнитном поле проводнике. Математическое представление электромагнитного поля использует понятие векторного поля: ограниченного или неограниченного пространства, в каждой точке которого определены один или несколько векторных параметров, обладающих свойствами пространственной непрерывности вместе со своими первыми и вторыми пространственными производными.

В электромагнитном поле такими векторными параметрами могут быть магнитная индукция , напряженность магнитного поля, намагниченность вещества, напряженность электрического поля , плотность тока в проводнике, магнитный векторный потенциал и другие параметры. Как частный случай векторного поля можно рассматривать пространственное распределение скалярного параметра, например электрического потенциала, если это оказывается достаточным для полной формулировки задачи.

Пространственная картина или топография распределения векторов поля, обладающих указанными свойствами непрерывности, может быть представлена как совокупность двух структур векторов: структуры расходящихся потоков из некоторых областей пространства и сходящиеся в другие области или уходящие в бесконечность (потенциальная составляющая) и структуры замкнутых в пространстве потоков (вихревая составляющая). Предположим, имеется некоторое поле вектора , обладающее свойствами непрерывности и дифференцируемости. Тогда в соответствии с теоремой разложения Гельмгольца [6] справедливо соотношение

, (3.1)

где — вихревая составляющая, у которой отсутствуют истоки, т.е. дивергенция;— потенциальная составляющая поля, у которой отсутствуют вихри, т.е. ротор;— оператор «набла».

,

где — единичные орты правосторонней прямоугольной системы координат.

В интегральном представлении отсутствие истоков вектора означает следующее: если охватить некоторую малую область пространства замкнутой поверхностью, например сферой, то суммарный поток через эту поверхность будет равен нулю. Отсутствие вихрей дает нулевое значение криволинейного интеграла по малому замкнутому контуру (циркуляции вектора). Если поместить железные опилки в магнитное поле, то вихревая составляющая образует замкнутые цепочки (рис. 16, а), а потенциальная — сходящиеся или расходящиеся не замкнутые на себя цепочки (рис. 16, б).

а)

б)

Рис. 16. Структуры железных опилок в магнитном поле:

а,б — вихревое и потенциальное поле

Физические поля создаются источниками. Из теоремы разложения следует, что эти источники располагаются в части пространства с отличными от нуля ротором или дивергенцией вектора поля. Значение ротора — это объемная плотность векторного источника вихревой составляющей поля, а значение дивергенции — объемная плотность скалярного источника потенциальной составляющей поля. При известных распределениях плотностей источников вектор поля определяется однозначно в любой точке пространства.

Для совокупности источников, сосредоточенных в объеме с площадью поверхности (рис. 17), элементарные составляющие вектора поля F выражаются через векторный A и скалярный потенциалы и определяются следующим образом:

; (3.2)

, (3.3)

где — расстояние от точки наблюдениядо текущей точки интегрирования;— единичная внешняя нормаль к поверхности;— градиент скалярного потенциала.

а)
б)	в)

Рис. 17. Источники потенциального и вихревого поля:

а — исходная топография поля; б — источники потенциальной составляющей; в — источники вихревой составляющей

Следует иметь ввиду, что и— касательная и нормальная компоненты векторав данном случае выражают поверхностные ротор и дивергенцию; и — векторы поля вне и внутри объема у поверхности. Под знаками интегралов стоят ротор и дивергенция векторов в текущей точке интегрирования, а ротор и градиент перед внешними скобками в этих формулах вычисляются в точке наблюдения. Поэтому после введения операторов ротора и градиента в точке наблюдения под знак интеграла справедливо следующее преобразование этих формул:

; (3.4)

(3.5)

В формулах (3.4), (3.5) раскрыто выражение градиента функции :

;

(3.6)

Выводы из теоремы разложения Гельмгольца распространяются на электромагнитное поле. При расчетах электромагнитных систем учитываются только те детали, которые участвуют в создании поля. Это детали, выполненные из магнитных материалов: магнитопроводы, полюсные наконечники, постоянные магниты, и детали, где имеются сторонние или наведенные токи. Все детали системы разделяются на детали с известным и неизвестным распределением источников поля. Обычно заранее известно или может быть определено из расчетов электрической цепи распределение тока в катушках. Иногда для постоянных магнитов из высококоэрцитивных сплавов допустимо задавать неизменное значение вектора намагниченности. Совокупность источников, заключенных в объемах деталей системы, составляет основу его математической модели.

Рассмотрим стационарное магнитное поле. Общие закономерности распределения в пространстве источников магнитного поля представлены системой уравнений Максвелла [7]:

(3.7)

где ,— магнитная индукция и напряженность магнитного поля;— объемная плотность токов.

Первое равенство указывает на вихревой характер поля вектора магнитной индукции — линии магнитной индукции замкнуты. Второе равенство — дифференциальная форма закона полного тока. Для расчета магнитного поля согласно (3.4), (3.5) необходимо знать истоки и вихри конкретного векторного поля. Поэтому отдельно рассматривается поле вектора и отдельно поле вектора. Для поля вектора напряженности его дивергенцию определим из связи векторов,и намагниченности вещества:

.(3.8)

Подставив (3.8) в первое уравнение (3.7), для истоков вектора получаем соотношение:

(3.9)

Таким образом, истоки расположены внутри деталей из магнитных материалов (), а его вихри — в проводниках с током (). У поля вектора магнитной индукции истоки отсутствуют (), а вихри располагаются в проводниках с током и в деталях из магнитных материалов, так как

(3.10)

Знания истоков и вихрей векторного поля во всем пространстве при условии отсутствия поля на бесконечности достаточно для определения самих векторов в любой точке (3.4), (3.5). Истоки вектора намагниченности создают скалярный магнитный потенциал , который подчиняется интегральному соотношению

(3.11)

Составляющая напряженности поля согласно (3.5) имеет вид

, (3.12)

где — объемы и поверхности всех ферромагнитных деталей системы;n — внешняя нормаль к поверхности в точке интегрирования.

Для вихревой составляющей вводится понятие векторного потенциалаВекторный потенциал, созданный токами в проводниках, подчиняется интегральному соотношению:

,

где интегрирование производится по объему всех деталей с токами.

Использование дополнительных параметров поля — скалярного и векторного потенциалов, дает возможность сформулировать для них краевые задачи в более удобном виде для решения уравнений конкретным численным методом.

Поле вектора магнитной индукции только вихревое. Его также можно выразить через векторный магнитный потенциал (другой, отличающийся от)

(3.13)

и из (3.2) и (3.4) получить интегральные выражения для икак функции источников магнитного поля, определенных в (3.10):

, (3.14)

. (3.15)