![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3.4. Потокосцепления, индуктивности и эдс катушек
- •3.5. Силы в электромагнитном поле
- •3.1. Источники электромагнитного поля
- •3.2. Модели полей деталей магнитных систем
- •Программный комплекс для расчета электромагнитных полей Jump п1. Структура программы
- •П2. Числовое представление конструкции магнитных систем
- •П3. Расчет коэффициентов матричных уравнений
- •2.3. Граничные интегральные уравнения для расчета деталей мс с линейными магнитными свойствами
П3. Расчет коэффициентов матричных уравнений
Расчет коэффициентов и формирование матриц систем уравнений — наиболее трудоемкая для программирования и громоздкая при расчетах часть задачи, особенно для трехмерных конструкций.
Последовательность выполняемых в программе операций следующая: задаются все требуемые положения точки наблюдения в центрах элементарных объемов или на элементарных площадках, затем каждому положению точки наблюдения ставится в соответствие одна или три строки матрицы в зависимости от типа решаемого уравнения и рассчитываются коэффициенты матрицы для каждой компоненты скалярного или векторного источника поля.
Для задания координат точки наблюдения организуются циклы: по номерам шестигранников, по полосам разбиения их на элементарные объемы, по осевым симметричным образам в ЛСК и ИСК и по периодическим симметричным образам, причем циклы по осевым и периодическим симметричным образам в ИСК имеют место, когда симметрия только геометрическая.
В случае полной симметрии уравнения записываются для точек наблюдения, располагаемых в одной симметричной части системы, а коэффициенты матриц, относящиеся к симметричным элементам, суммируются со знаками, определяемыми характером симметрии. При геометрической осевой и периодической симметрии в ИСК координаты точки наблюдения определяются в подвижной системе координат, отслеживающей за рассматриваемым образом. Параметры циклов однозначно задают расположение рассматриваемого элементарного объема и позволяют провести вычисления координат вершин и центральной точки.
Для каждой точки наблюдения рассчитываются коэффициенты, составляющие строки матрицы, и запоминаются в специальном служебном массиве — блоке обмена, находящемся в оперативной памяти компьютера. Он необходим для промежуточного хранения информации, поскольку для всех рассчитываемых матриц в основной памяти недостаточно места. При полном заполнении блока обмена данные переписываются на внешнее устройство компьютера. Далее блок обмена зануляется, в него заносятся следующие коэффициенты и т. д.
В
основе алгоритма расчета коэффициентов
вычисление поверхностного интеграла
по четырехугольнику с двумя параллельными
сторонами или по треугольнику от функций
и
.
Все интегралы сводятся к двукратному
интегралу, у которого внутренний интеграл
имеет простое аналитическое выражение.
Интегрирование выполняется в текущей
системе координат
(ТСК), ориентированной по отношению к
трапециевидной площадке так, как это
показано на рис. П10.
Рис. П10. Ориентация текущей системы координат при интегрировании
Тогда поверхностный интеграл преобразуется к виду
,
где
G
— подынтегральная функция, записанная
в ТСК;
и
— уравнения линий АВ, CD на рис. П10 —
соответственно верхний и нижний предел
интегрирования по координате
;
F — первообразная внутреннего интеграла (табл. П1).
Второй
интеграл по
также
имеет аналитическое выражение, но если
площадка интегрирования отличается от
прямоугольника, аналитические выражения
становятся слишком громоздкими и для
допустимой погрешности применение
численного интегрирования выглядит
предпочтительнее по объему вычислительных
операций.
Для частного случая прямоугольных площадок аналитические выражения двукратных интегралов, приведенные в табл. П2, достаточно просты и использование их в программе существенно уменьшает время счета.
При
анализе плоскопараллельных полей
поверхностные интегралы в уравнениях
трансформируются в линейные, которые
также имеют простые аналитические
выражения (табл. П3). В этом случае
интегрирование удобно выполнять в ТСК,
у которой ось
ориентирована параллельно отрезку
интегрирования.
Аналитические выражения однократных интегралов
Т а б л и ц а П1
Функции | |
Подынтегральные |
Первообразные |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения поверхностных интегралов для прямоугольных площадок
Т а б л и ца П2.
Функции | |
Подынтегральные |
Первообразные |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитические выражения линейных интегралов
Т а б л и ц а П3
Функции | |
Подынтегральные |
Первообразные |
|
|
|
|
|
|
П
р и м е ч а н и е.
Формулы даны для интегрирования в ТСК
(штрихи у координат опущены). Принятые
обозначения:
.
Так как расчет коэффициентов матриц вынужденно строится по циклической схеме, а численное интегрирование выполняется в самом внутреннем цикле, то к этой части алгоритма и реализующей его программе предъявляется требование — число выполняемых операций должно быть минимальным, но, естественно, не в ущерб точности вычислений. При заданной погрешности интегрирования число необходимых операций, определяемое числом узлов используемой квадратурной формулы, зависит от подынтегральных функций. Характер подынтегральных функций таков (см. табл. П1), что их значение и значения их высших производных быстро убывают при удалении точки наблюдения от точки интегрирования в направлении координатных осей у' и z (координата х' не является независимой переменной согласно формуле (1)). В связи с этим использование симметричных квадратурных формул, например формулы Гаусса, на всем отрезке нерационально и экономию времени вычислений можно ожидать в алгоритме, который имеет переменный шаг интегрирования, увеличивающийся при удалении точки наблюдения, т. е. при расчете по формуле вида
,
где
N
— число подынтервалов, на которые разбит
весь отрезок интегрирования;
— весовой коэффициент;
— длинаk-го
подынтервала; выражение в скобках —
квадратурная формула с p
узлами.
Оптимальный
алгоритм интегрирования должен решать
следующую задачу: определять наибольшую
длину текущего подынтервала
,
которая обеспечивает заданную точность
интегрирования при использовании
выбранной квадратурной формулы,
одинаковой для всех подынтервалов.
Упрощенный алгоритмический прием
предполагает априорное задание закона
изменения
в зависимости от удаления точки
интегрирования. Подбор закона производится
на основе анализа подынтегральных
функций, а окончательная проверка и
настройка точности интегрирования
осуществляются на тестовых задачах,
имеющих простое аналитическое решение.
В рассматриваемой программе длина текущего подынтервала интегрирования в ТСК рассчитывается по формуле
,
а
начальный подынтервал
при известном общем числе подынтервалов
определяется из условия о размещении
в отрезке [a,
b]
целого числа подынтервалов N,
т. е.
.
В программе для каждого конкретного отрезка интегрирования вычисляется необходимое число подынтервалов путем решения неравенства относительно N на подмножестве натуральных чисел
,
где
в левой части стоит проекция радиуса-вектора
на плоскость
в ТСК, т. е. решается задача нахождения
наименьшегоN,
при котором выполняется это неравенство.
С вычислительной точки зрения такая
задача содержит незначительное число
операций. Суммарная погрешность
интегрирования с использованием
приведенных соотношений при учете
накопления погрешностей на подынтервалах
лежит в пределах 0,01 … 0,05 %. Уменьшение
погрешности интегрирования достигается
усилением неравенства. При попадании
точки наблюдения внутрь отрезка
он
разбивается на два
,
,
интегралы для них вычисляются раздельно
и суммируются. Если при этом и
т. е. точка наблюдения лежит на площадке
интегрирования, то интеграл становится
несобственным; интегрирование его по
приведенному алгоритму затруднено.
Чтобы исключить этот эффект, применяется
искусственное смещение точки наблюденияQ
по
на малое расстояние от площадки
интегрирования, после чего алгоритм
работает без затруднений. В то же время
такой прием не вызывает заметной
дополнительной погрешности.
43. Как строится модель для расчета напряженности магнитного поля для намагниченной детали из магнитомягкого материала с постоянной относительной магнитной проницаемостью с использованием простого слоя фиктивных магнитных?
Ответ. Этот вопрос я исключил. Для тех, кто интересуется: