3.2. Модели полей деталей магнитных систем

Распределение намагниченности в ферромагнитных элементах системы и плотности токов в проводниках отражает физические явления в виде непрерывных в пространстве векторных источников. В этой постановке задача расчета магнитного поля имеет бесконечное число неизвестных. Для определения неизвестных источников по выражениям (3.12), (3.15) в реальных задачах при отсутствии аналитических решений необходимо усреднение в более крупных масштабах, когда расчет ограничивается конечным числом операций, доступных для выполнения на компьютере, а возникающая при этом погрешность не превосходит допустимых значений. Этой цели служат дискретные математические модели деталей магнитных систем, осуществляющие пространственную аппроксимацию источников поля. Аппроксимирующие функции заменяют поиск истинных непрерывных объемных картин векторных параметров расчетом конечного числа значений параметров в узлах аппроксимации, что является отличительной особенностью численных методов анализа полей. Рассмотрим простейшие аппроксимации источников электромагнитного поля.

Условные изображения элементов деталей магнитных систем в виде многогранника с непрерывными распределениями векторов намагниченности или объемной плотности токов приведены на рис. 18 а. Наиболее грубое приближение получаем при усреднении вектора по всему объему, т.е. при или(рис. 18,б). В этом случае и, интегралы по объему ферромагнитных деталей в (3.12), (3.15) равны нулю. Напряженность магнитного поля в любой точке пространства, включая сам элемент, рассчитывается интегрированием нормальной составляющей, а магнитная индукция — касательной составляющей вектора намагниченности по поверхности детали. Вектор намагниченности выносится из под знака интеграла. Для однородно намагниченной детали получаем:

;

,

где — площадь— й грани детали;— число граней.

На практике такое приближение возможно для отдельных постоянных магнитов из высококоэрцитивных сплавов, у которых вектор намагниченности в рассматриваемом диапазоне изменения полей можно принять постоянным.

При постоянной по объему плотности тока J объемный интеграл сводится к поверхностному с помощью тождественных векторных преобразований

.

а) б) в)

Рис. 18. Деталь магнитной системы:

а — с непрерывным распределением намагниченности (плотности тока) по объему; б — с постоянным значением вектора намагниченности (плотности тока) во всем объеме; в — с кусочно—постоянной аппроксимацией вектора намагниченности (плотности тока) по объему

Представить объемную картину распределения векторных источников дискретной моделью, асимптотически снижающей погрешности при уменьшении шага дискретизации (размера дискретного элемента), позволят кусочно—постоянная аппроксимация намагниченности и плотности тока по элементарным объемам ,где— номер элементарного объема (рис. 18,в). В этом случае интегрирование производится по всем поверхностям , ограничивающим элементарные объемы. Такая модель элемента дает приемлемую в инженерных расчетах точность представления сложных распределений векторов для большинства конструкций электромагнитных систем и для намагниченности, и для токов. Универсальность модели достигается вариацией форм и размеров элементарных объемов, и тем самым обеспечивается асимптотическое приближение к реальному распределению источников. Выражения для параметров поля принимают вид:

,

,

где — номер элементарного объема;— общее число выделенных элементарных объемов;— номер грани;— число граней-го элементарного объема;— площадь поверхности грани.

В последней модели интегрирование по поверхностям разбиения выполняется дважды для каждого из соприкасающихся элементарных объемов (рис. 19). Поэтому более простой вид формулы приобретают после группировки членов

где — общее число площадок на всех поверхностях разбиения, включая границы всего объема;и— намагниченности прилегающих к-й элементарной площадке областей.

Рис. 19. Соприкасающиеся области с различной намагниченностью

Скачки нормальной составляющей вектора намагниченности на поверхности раздела двух разнородных сред, которые согласно (1.8) равны по абсолютному значению скачкам нормальной составляющей напряженности поля, по аналогии с электростатикой называют поверхностным магнитным зарядом:

(3.16)

где — плотность поверхностного магнитного заряда.

Подобие пространственного распределения векторов магнитного и электрического поля, созданных фиктивными магнитными и электрическими зарядами, устанавливается равенством критериев подобия.

Выражение напряженности магнитного поля, созданного магнитными зарядами плотностью на поверхности,

критерий подобия .

Для напряженности электрического поля, созданного электрическими зарядами плотностью на такой же поверхности,

критерий подобия .

Использование при анализе поля фиктивных магнитных зарядов, так же как и других фиктивных источников, предназначено исключительно для более компактных записей интегральных соотношений. Физическая же сущность поверхностного магнитного заряда заключается в скачкообразном изменении вектора намагниченности.

Предположим, имеется однородно намагниченный постоянный магнит призматической формы (рис. 20, а). Если использовать представление источников магнитного поля в виде зарядов, то такой магнит создает такую напряженность магнитного поля во всем пространстве, как и простые слои зарядов на поверхности магнита с плотностью, равной нормальной к поверхности составляющей намагниченности (см. рис. 20, б).

Уточнение дискретных моделей приводит к необходимости учета объемных источников — истоков вектора намагниченности в объеме или объемных магнитных зарядов

, (3.17)

где — объемная плотность магнитного заряда.

а) б) в)

Рис.20. Однородно намагниченный призматический постоянный магнит:

а — модель с вектором намагниченности; б — модель со слоями поверхностных зарядов; в — модель со слоями поверхностных токов (эквивалентный соленоид)

Простейшая модель с объемными источниками строится с помощью кусочно—постоянной аппроксимации дивергенции намагниченности по выделенным элементарным объемам, т. е. в пределах элементарного объема принимается . Однако ввиду резкого возрастания вычислений при интегрировании по объему подобные модели не нашли широкого применения.

Если расчет осуществляется для поля вектора магнитной индукции , то рассмотренные дискретные модели могут быть записаны для объемных и поверхностных фиктивных магнитных токов:

(3.18)

где и— объемная и поверхностная плотность магнитного тока. Это значит, что однородно намагниченный постоянный магнит (рис. 20,в) может быть представлен простыми слоями токов на поверхности магнита с плотностью равной касательной к поверхности магнита составляющей намагниченности. Такую замену называют методом эквивалентного соленоида.

Выбор дискретной модели элемента магнитной системы непосредственно связан с обеспечением требуемой точности расчета. Погрешности, вносимые пространственной аппроксимацией источников, оцениваются на основе данных вычислительного эксперимента при дроблении шага дискретизации по критерию стабилизации решения.

37. Как представить модель однородно намагниченного объема V с поверхностью S для расчета магнитной индукции в виде распределенных фиктивных магнитных токов?

Ответ .См. предыдущий вопрос.

39. Постоянный магнит в виде шарика имеет однородную намагниченность 900 кА/м. Какая напряженность магнитного поля внутри шарика?

Ответ.

Пример 3.5. Намагничивание стального шара в однородном внешнем магнитном поле.

Стальной шар из изотропного магнитомягкого материала с относительной магнитной проницаемостью помещен в однородное внешнее магнитное поле с напряженностью 1000 кА/м (см. рис. 3.10). Какая намагниченность, напряженность магнитного поля и магнитная индукция внутри шара?

Шар из изотропной стали намагнитится однородно в направлении внешнего магнитного поля. Система уравнений примет вид:

где коэффициент для центральной точки однородно намагниченной сферы одинаковый для любого радиуса. Коэффициент, определяющий напряженность магнитного поля от собственной единичной намагниченности шара, имеет отрицательное значение, т. е. напряженность магнитного поля, созданная собственной намагниченностью, размагничивающая.

Совместное решение уравнений дает следующие значения параметров: .

В случае нелинейной магнитной характеристики изотропного магнитомягкого материала в системе уравнений (3.5) напряженность магнитного поля в элементарном объеме можно представить нелинейной функцией намагниченности

В то же время намагниченность непосредственно определяется по характеристике материала. Поэтому компоненты вектора , одновременно удовлетворяющие указанным функциям, могут быть найдены с помощью минимизации невязки

,

где – функция модуля намагниченностиk-го элементарного объема, получаемая из решения системы (3.5); характеристика материала.

Пример 3.6. Один элементарный объем в виде куба из стали 10 в однородном внешнем магнитном поле (рис. 3.11).

Напряженность внешнего магнитного поля имеет координатные составляющие . В центральной точке внутри куба для составляющих результирующей напряженности магнитного поля, т.е. суммы полей от собственной намагниченности и внешнего, имеем систему уравнений с независящими от размеров куба коэффициентами (см. пример 3.2):

Для изотропного магнитомягкого материала справедливы соотношения для магнитной восприимчивости материала как функции модуля напряженности магнитного поля, которые одинаковые для всех направлений:

Из системы уравнений для намагниченности куба исключаются три неизвестные составляющие напряженности магнитного поля внутри куба и вводится одна неизвестная функция :

42. Какая дискретная модель намагниченной детали применена в программе Jump (стационарное магнитное поле)?

Ответ.

Интегральные выражения напряженности магнитного поля (3.12), векторного магнитного потенциала (3.14) или магнитной индукции (3.15) через намагниченность деталей и токи автоматически удовлетворяют всем краевым условиям магнитного поля. Эти формулы можно рассматривать как пространственные интегральные уравнения, если добавить к ним материальные уравнения среды — магнитные свойства материалов. Алгоритм расчета проиллюстрируем на примере детали из ферромагнитного материала, помещенной в известное внешнее магнитное поле. Применим дискретную математическую модель с кусочно—постоянной аппроксимацией вектора намагниченности по объему, т.е. будем считать, что объем детали разбит на малых элементарных объемов, каждый из которых представляется многогранником с числом граней (см. рис. 18,в). Выражение для напряженности поля запишем в виде

, (3.19)

где под понимается напряженность внешнего поля, создаваемого всеми остальными известными источниками поля магнитной системы. Помещая точку наблюдения последовательно в средние точки каждого выделенного элементарного объема, запишемравенств (3.19). В результате получим систему линейных алгебраических уравнений, связывающую неизвестные значения напряженности поля в элементарных объемах с искомыми значениями намагниченности. В матричной записи она имеет вид

, (3.20)

где многомерные векторы ,исодержат компоненты векторов напряженности поля и намагниченности в каждом элементарном объеме:

Матрица состоит изэлементовкоторые рассчитываются по формулам:

где — номер элементарного объема с точкой наблюдения;— номер элементарного объема, от намагниченности которого рассчитывается вклад в напряженность поля;соответствуетсоставляющей определяемого вектора— соответствуетсоставляющей намагниченности, от которой рассчитывается вклад в напряженность поля;— единичные орты декартовой прямоугольной правосторонней системы координат.