![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
Напомним сначала,
что корень
характеристического многочлена
называется
корнем кратности
если
Полезно заметить,
что если полином
имеет
различных корней
(
– степень многочлена
),
то все они имеют кратность
Однократные корни называют еще
простыми корнями
.
Записав для
многочлена
формулу Тейлора
(остаточный член
его равен тождественно нулю), получим
с учетом равенств (6), что если
– корень кратности
,
то
представляется в виде
где
– многочлен степени
такой, что
Очевидно, верно и обратное: если
представляется в виде (7)
, где
то
–- корень кратности
многочлена
Построению
фундаментальной системы решений в
случае кратных корней характеристического
уравнения
предпошлем несколько вспомогательных
утверждений.
Если
– дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами
то имеет место формула
Действительно, по (2) имеем
Дифференцируя это тождество по
и учитывая, что операторы
и
перестановочны при применении их к
бесконечно дифференцируемой по
и
функции
,
будем иметь
Таким образом, справедливо тождество (8).
Пусть
– корень кратности
характеристического многочлена
уравнения (21.26) с постоянными коэффициентами
Тогда
функций
линейно независимы на любом отрезке
и являются решениями уравнения (1).
Доказательство.Пусть–- любое натуральное число, удовлетворяющее
неравенству
.
Согласно
имеет место тождество
где
(см.
).
Имеем
Полагая в последнем тождестве
,
будем иметь
Это означает, что функции (9) являются
решениями уравнения (1). Эти функции
линейно независимы на любом отрезке
(см. утверждение
предыдущей лекции). Свойство
доказано.
Если
– комплексный корень кратности
уравнения
с постоянными и действительными
коэффициентами
,
то отделяя в (9) действительные и мнимые
части, получаем
линейно независимых действительных
решений
Из этого факта и предыдущих утверждений
вытекает следующий алгоритм построения
фундаментальной системы решений
однородного уравнения (1) с постоянными
и действительными коэффициентами
.
Алгоритм 1.
1) По уравнению (1) составляем
характеристическое уравнение
,
заменив в (1) производные
на степени
(
).
2) Найдем корни
характеристического уравнения
и установим их кратности.
3) Каждому действительному корню
кратности
поставим в соответствие
линейно независимых решений
4) Каждой паре комплексно-сопряженных
корней
кратности
сопоставим
линейно независимых решений
5) Объединим все полученные линейно
независимые решения. Получим фундаментальную
систему решений уравнения (1), состоящую
из
функций (
–
порядок уравнения (1)).
Общее решение уравнения (1) имеет вид
где
– построенная в алгоритме 1 фундаментальная
система решений, а
–- произвольные постоянные.
Пример 2.Найти общее решение
уравнения
Решение. Составляем характеристическое
уравнение,
находим его корни и устанавливаем их
кратности:
Согласно алгоритму 1 выписываем линейно независимые решения, отвечающие каждому корню:
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид