![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
Функциональные ряды вида
где
(коэффициенты ряда) и
(центр ряда) – постоянные,
переменная,
называютсястепенными рядами.Ясно,
что если мы научимся вычислять область
сходимости степенного ряда
(с центром
),
то легко найдем и область сходимости
исходного ряда
Поэтому впредь, если не оговорено
противное, будем рассматривать степенные
ряды
.
Теорема Абеля. Если степенной ряд
сходится в точке
то он сходится абсолютно и в круге
В любом замкнутом круге
указанный ряд сходится равномерно.
Так же, как и в действительном анализе, здесь вводится понятие радиуса сходимости ряда.
Определение 2.Числоназываетсярадиусом сходимостиряда (2), если внутри круга
этот ряд сходитсяабсолютно, а вне
замкнутого круга
он расходится. При этом круг
называетсякругом сходимостиряда
.
Заметим, что при
указанный степенной ряд сходится только
в точке
а при
он сходится при всех комплексных
Следующие примеры показывают, что эти
случаи не исключаются:
Примером ряда с ненулевым конечным
радиусом сходимости может служить
геометрическая прогрессия
Заметим также, что на границе
круга сходимости степенной ряд может
как сходиться, так и расходиться.
Например, ряд
сходится условно в точке
и расходится в точке
Здесь так же, как и в действительном анализе имеет место утверждение.
Теорема 1. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:
а) существует (конечный или бесконечный)
предел
б) существует (конечный или бесконечный)
предел(при
этом предполагается, что существует
номер
такой, что
).
Тогда число
радиус сходимости ряда
.
Пусть функция
имеет в точке
и некоторой её окрестности
производные
Тогда этой функции можно поставить в
соответствие степенной ряд
Этот ряд называется рядом Тейлора,
построенным по функции
Возникают следующие естественные
вопросы:
1) при каких условиях на функцию
ряд
сходится и какова область его сходимости?
2) при каких условиях на функцию
ряд
сходится именно к функции
по
которой он строится?
На первый вопрос можно ответить, применяя
к
признаки сходимости степенных
рядов. Ответ на второй вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема 2(о разложимости аналитической
функции в ряд Тейлора). Пусть функция
аналитична в области
Тогда в любом круге
лежащем в области
функция
разлагается в степенной ряд
абсолютно сходящийся в круге
Этот ряд необходимо является рядом
Тейлора
для функции
т.е.
Таким образом, разложение аналитической функции в степенной ряд единственно.
Доказательство.Возьмём произвольно
точкуи опишем круг
охватывающий точку
Так как функция
аналитична в односвязной области
то для неё справедлива интегральная
формула Коши:
Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:
=[выносим за скобку вектор максимальной
длины:
]=
=Так как
то геометрическая прогрессия
разлагается в равномерно сходящийся в
круге
степенной
ряд
Поэтому
Подставляя это в (4), будем иметь
Учитывая, что
получаем утверждение нашей теоремы.
Для комплексных функций имеют место стандартные разложения в степенные ряды.
Таблица 1. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды