![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
Если в дифференциальной системе
правая часть
линейна по
,
то эта система называется линейной
системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид
где
и
– известные функции,
– неизвестные функции (
).
Пользуясь векторно-матричными
обозначениями, систему (1) можно записать
в следующей компактной форме:
где
Мы будем пользоваться преимущественно
записью (2). При этом число компонент
неизвестной вектор-функции
(или размерность матрицы
)
называется порядкомсистемы (2).
Таким образом, (2) – дифференциальная
система
-го
порядка.
Вектор-функция
называется неоднородностью системы
(2). Если
(т.е. если все компоненты
,
то система (2) называется однородной;
в противном случае (т.е. если
)
система (2) называется неоднородной
системой. Если в (2) отбросить неоднородность,
то получим соответствующую ей однородную
систему
Оператор
позволяет записать систему (2) кратко
так:
.
Изучим свойства этого оператора. Будем
обозначать через
пространство
-мерных
вектор-функций
,
непрерывных на отрезке
вместе с производными
до
-го
порядка включительно (часто индекс
в
опускают, если из контекста ясно, о каких
вектор-функциях идет речь). Имеют место
следующие утверждения.
Если матрица
непрерывна на отрезке
(т.е. если все ее элементы
непрерывны на
),
то оператор
действует из пространства
в пространство
непрерывных на отрезке
вектор-функций:
Оператор
линеен, т.е.
для произвольных чисел
и
и произвольных элементов
и
пространства
Первое свойство вытекает из того,
что при дифференцировании гладкость
функции понижается на единицу, а второе
свойство вытекает из того, что операторы
и
являются линейными операторами, а значит
линейным оператором является и их сумма
.
Если через
обозначить пространство решений
однородной системы уравнений
c непрерывной матрицей
,
то из свойств
и
сразу же вытекает, что
– линейное пространство. Как и в случае
скалярных дифференциальных уравнений,
нас будет интересовать, какова размерность
пространства
и какие системы функций образуют в нем
базис. Мы ответим на эти вопросы, если
научимся выделять в
максимальную линейно независимую
систему элементов.
1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
Пусть
– фиксированный постоянный вектор в
.
Рассмот-
рим начальную задачу
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Если в системе (2)
матрица
и вектор-функция
непрерывны на отрезке
,
то какова бы ни была начальная точка
,
задача Коши (3) имеет решение
Это решение единственно и определено
на отрезке
.
Таким образом, в случае линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость начальной задачи глобальная: решение существует там, где непрерывна правая часть дифференциальной системы. В случае нелинейных систем это не так.
Пример 1.Показать, что задача Коши
с непрерывными (при всех
)
правыми частями не имеет решение,
определенное при всех
если
.
Решение.Из второго уравнения
(4) находим, чтоПоэтому первое уравнение приобретает
вид
Разделяя здесь переменные, будем иметь
Итак, задача Коши (4) имеет следующее решение:
Это решение единственно, так как выполнены
все условия теоремы Коши. Первая
компонента решения разрывна при
(
),
поэтому каково бы ни было начальное
значение
,
решение (5) не может существовать на всей
оси
,
так как оно всегда разрывно в точке
.