Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Красюк конспект лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

2.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Осевые моменты инерции

Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции. Осе-

вой момент является мерой инертности тела при вращательном движении и играет такую же роль, как масса при поступательном движе-

нии. Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний до этой оси:

J z = е mk hk2 .

k =1

Размерность момента инерции в системе СИ – кг Чм2 . Величину hk2 можно выразить через координаты точек хk; уk;

например:

hk2 = yk2 + xk2 ,

тогда

JZ = еmk ( yk2 + xk2 ) .

Аналогично

J X = еmk ( yk2 + zk2 ) , JY = еmk (zk2 + xk2 ) .

zk,

(3)

При практических расчетах пользуются также линейной величиной, называемой радиусом инерции и обозначаемой i.

Представим выражение для момента инерции в виде

J z = Mi2 ,

где М – масса тела. Тогда радиус инерции – это расстояние от оси до той точки, в которой нужно сосредоточить массу тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Рассматривая формулы (3) с учетом того, что dm = dV, где – плотность, V – объем, получим

J z = т h2dm = т h2dV = т (x2 + y2 )dV .

V V V

Моменты инерции некоторых тел

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М.

Найдем момент инерции относительно оси Az (рис. 3).

Для любого отрезка dx величина h = x, а масса dm = Ч dx , где = M / l – масса единицы длины стержня.

l		l			l	3
J z = т x2dm = т x2dx =					l		.
J z = т x2dm = т x2dx =					3		.
0		0			3
0		0
Подставляя в это выражение значение				, получим
JZ	=	Ml	2	.

		3
		3

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М.

Все точки кольца равноудалены от его центра C, следовательно:

JZС = еmk R2 = R2 еmk = MR2 .

Рис. 3

Рис. 4

Таким образом,

JZС = MR2 .

Такой же результат будет для цилиндрической оболочки.

3. Круглая однородная пластина (диск).

Выделим элементарное кольцо радиусом r, шириной dr (рис. 4). Площадь кольца S = 2 rdr.

dm = 2 rdr , где =	M	, тогда dJ = r2dm .
	R2

82

Интегрируем:

R		R		R	4
JZС = т r2 2 rdr = 2		т r3dr =		R		.
JZС = т r2 2 rdr = 2		т r3dr =		2		.
0		0		2
0		0
Подставив в это выражение значение		, получим
	MR2
JZС =			.
JZС =		2	.
		2

Момент инерции тела относительно параллельных осей

Теорема Гюйгенса. Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут в общем случае разными. Зная JС относительно одной оси, можно найти JО относительно другой, ей параллельной.

Проведем оси xў, yў, zў через центр

масс С и через произвольную точку О,

лежащую на оси Cxў, параллельные

оси x, y, z – на расстоянии d (рис. 5).

Пользуясь формулами (3), запишем

JOZ = еmk (xk2 + yk2 ),

JCZ ў = еmk (xkў2 + ykў2 ). .

Рис. 5

Из рисунка видно, что

x = xў - d , x2

= xў2

+ d 2

- 2xў

d , y = yў .

Тогда

m (xў2

+ yў2 ) +

m d 2

m xў 2d ,

е k

k k

m (xў2 + yў2 ) = J

CZ ў

m d 2

= Md 2,

m xў

2d = Mxў .

е k k

k k

> JCZ ў , следовательно, момент инерции тела

Так как точка С является центром тяжести, запишем

xў =	еmk xkў	= 0,

C	M

Следовательно, третья сумма равна нулю, тогда

JOZ = JOZ ў + Md 2.

Итак, теорема Гюйгенса формулируется следующим образом:

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, ей параллельной, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Очевидно, что JOZ

относительно оси, проходящей через центр масс, будет наименьшим для всех осей данного направления.

Л е к ц и я 11

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Количество движения точки и механической системы и его вычисление через скорость центра масс. Теоремы об изменении количества движения точки и системы.

	Количеством движения материальной точки называется вектор-

ная величина mV , равная произведению массы точки на вектор ее
скорости.
	Единица измерения йmV щ – кг·м/с или Н·с.
	л	ы
	Элементарным импульсом силы называется векторная величина
					на элементарный промежу-
ds	, равная произведению вектора силы F				на элементарный промежу-
ток времени dt:
				t1
	ds	= Fdt	s	= т Fdt.
				0

Импульс силы за некоторый промежуток времени t1 равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от

0 до t . Если сила F постоянна по модулю и направлению, то s Ft . В

общем случае модуль s может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

t1		t1		t1
sX = т	FX dt , sY	= т	FY dt ,	sZ = т	FZ dt .
0		0		0
Единица измерения [s] – Н·с = кг·м с/с2 = кг·м / с.
По второму закону Ньютона:

	ma	= е F ,
		85

а так как = dV , то

dt
		n
	d (mV )
		= е Fk .
	dt
		k =1

Таким образом, теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме формулируется в следующем виде.

Производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на нее сил.

Умножим обе части равенства на dt и проинтегрируем:

			t1
mV1	- mV0 = е т			Fk dt
			0
или

mV1		- mV0	= е Sk .

Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме записывается так: изменение количества движе-

ния за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Количеством движения механической системы называется век-

торная величина Q , равная геометрической сумме (главному векто-

ру) количеств движения всех точек системы (рис. 1):

Q = еmkVk .

Рис. 1

Радиус-вектор центра масс

					еmK rK
		rС		=
					M

или		еmK rK = M Ч rC .

Продифференцируем левую и правую части этого уравнения по
времени:	drK		drC
еmK		= M			Ю еmKVK = MVC .

	dt			dt
Следовательно,

			Q =		M ЧVC .

Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Очевидно, что при VC = 0 Q = 0, например, при вращении тела от-

носительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если движение тела сложное или плоскопараллельное, то количество движения Q не зависит от вращательного движения вокруг центра масс (например, колесо катится по рельсу).

Количество движения – характеристика поступательного движения тела, а при сложном движении – характеристика поступательной части движения вместе с центром масс.

Рассмотрим систему из n материальных точек. Составим уравнения движения для каждой точки и сложим их:


			еm a		= еFe			+ еFi .
				k k			k		k

Так как еFi = 0	(свойство внутренних сил), то
k

			d				dQ			dQ
еm a		=		еm V		=		Ю			= е F e .
еm a		=		еm V		=		Ю			= е F e .
k	k		dt	k	k		dt			dt	k
			dt				dt			dt

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

В проекциях на оси координат:

dQx	= е F e	,	dQx	= е F e	,	dQz	= е F e .
dt	kx		dt	kx		dt	kz
dt			dt			dt
				87

Разделив переменные и взяв интеграл, получим запись теоремы об изменении количества движения в конечной форме:

					t1
			Q1 - Q0 = е т			Fkedt
					0
или

			Q	- Q	= еS e .
			1	0		k
В проекциях на координатные оси:
Q	- Q	= еS e	, Q	- Q	= еS e , Q			- Q	= еS e .
1x	0x	kx	1y	0 y		ky	1z	0z			kz
При решении задач о движении твердого тела удобнее пользовать-

ся теоремой о движении центра масс M Чa							= еFe . Однако в задачах
						c		k
с газами, жидкостью, реактивным движением и ударом удобнее поль-

										dQ
зоваться теоремой об изменении количества движения										dQ	= е F e .
зоваться теоремой об изменении количества движения											= е F e .
										dt	k
										dt

Закон сохранения количества движения

1. Если сумма всех внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то вектор количества движения системы есть

величина постоянная по модулю и направлению.

		dQ
Если еFe = 0	, то		= 0 , следовательно, Q = const .

k		dt

2. Если сумма проекций всех действующих сил на какую-либо ось

равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Если еFe	= 0 , то	dQx	= 0 , следовательно, Q		= const .
				Õ
kx		dt

Л е к ц и я 12

ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ (КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ) СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ

Способы вычисления кинетического момента. Теорема об изменении кинетического момента системы при ее движении по отношению к центру масс.

Моментом количества движения (МКД) точки относительно не-

которого центра О называется векторная величина mO (mV ) , опре-

деляемая равенством

где r

m0 (mV ) = r

ґ mV ,

(*)

– радиус-вектор движущейся точки.

Вектор

m0 (mV ) направлен перпендикулярно

к плоскости, проходящей через mV

и центр

m0 (mV )

О, а модуль равен

= mVh ,

где h –

кратчайшее расстояние от центра до линии

действия вектора скорости (рис. 1).

Момент количества

движения

точки

относительно какой-либо оси Oz, проходя-

щей через центр О,

равен проекции

векто-

Рис. 1

ра m0 (mV ) на эту плоскость:

mZ (mV ) = лm0

(mV )

ыZ

m0 (mV )

cos .

Продифференцируем обе части уравнения (*):

ж dr

ґ mV ) = з

ґ mV

+ зr

ґ m

ґ mV ) + (r ґ ma ) .

и dt

Выражение

(V ґ mV ) = 0

– векторное произведение двух парал-

лельных векторов. Учитывая,

что

ґ ma

–

момент силы F относи-

тельно центра О, получим

йm (mV )щ

= m(F ) .

dt л

Теорема об изменении момента количества движения точ-

ки. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Закон сохранения момента количества движения точки


Из равенства следует, что если m(F ) = 0 , то	m0	(mV ) = const.

Если момент действующих сил относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно

этого центра есть величина постоянная.

Такое возможно в двух случаях: либо R = еFk			= 0 , либо плечо

равно нулю, тогда эта сила будет называться центральной, т.е. линия ее действия проходит все время через данный центр О (например, сила притяжения планет к Солнцу, сила натяжения нити при кордовой модели).

Главным моментом количеств движения (или кинетическим мо-

ментом) системы относительно данного центра О называется век-

торная величина K0 , равная геометрической сумме моментов коли-

честв движения всех точек системы относительно этого центра:


K0	= еm0	(mkVk ) .
	90

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.201998.3 Кб2КР ФМ.doc
#
27.03.2015232.62 Кб60кр.docx
#
10.09.201996.89 Кб1кр.р.по статистике.docx
#
26.09.20191.45 Mб9кр1.doc
#
11.03.20163.97 Mб84Кравченко. Практикум.pdf
#
27.03.20152.89 Mб97Красюк конспект лекций.pdf
#
27.03.201510.33 Mб1047Красюк сборник заданий.pdf
#
27.03.201541.98 Кб34Краткая философия Платона.docx
#
27.03.20151.92 Mб15Краткий Базовый Курс ИИТ.docx
#
31.07.201918.56 Кб3Краткое содержание разделов и тем СПУПП.docx
#
27.03.2015217.83 Кб21кратные и криволинейные интегралы.pdf