Красюк конспект лекций

Л е к ц и я 2

РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Сложение сил. Пара сил и ее свойства. Понятие о моменте силы. Приведение плоской системы сил к данному центру. Условия равновесия плоской системы сил.

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону

Теорема 1. Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, равную по величине их алгебраической сумме, параллельную им и направленную в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит через точку, которая делит отрезок между точками приложения слагаемых сил на части, обратно пропорциональные этим силам, внутренним образом.

Рис.1

11

Следовательно, система двух антипараллельных сил имеет равнодействующую, которая по величине равна разности этих сил, параллельна им и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая лежит на продолжении отрезка АВ, соединяющего точки приложения слагаемых сил, за большей силой и делит этот отрезок обратно пропорционально силам внешним образом.

Пара сил и ее свойства

Пусть имеем равные антипараллельные силы F1 = -F2 , тогда

R = 0 , АС = ∞, ВС = ∞. Следовательно, точка С находится в бесконечности.

Система двух равных по величине параллельных и направленных в разные стороны сил называется парой сил. Понятие это ввел Франсуа Пуансо (1777–1859).

Очевидно, что пара сил не имеет равнодействующей, следовательно, она не ведет к поступательному движению тела. Она приводит тело во вращательное движение. Плоскость, в которой действует пара, – плоскость пары, кратчайшее расстояние между силами – плечо пары. Действие пары на тело зависит от величины сил, плеча и направления сил. Эта зависимость выражается в понятии момента.

Моментом пары называется вектор, величина которого равна взятому со знаком плюс или минус произведению одной из сил пары на плечо пары.

Будем считать: «+» – момент направлен против часовой стрелки; «–» – по часовой стрелке. Единица измерения момента – Н·м.

Теорема 2. Не нарушая кинематического состояния тела, можно

Рис. 3

Равнодействующие силы R14 и R23 равны по величине, направле-

бирались произвольно, то теорема доказана.

Теорема 3. Не изменяя действия данной пары сил на тело, можно силу и плечо пары изменять любым способом, но так, чтобы момент

зана.

Рис. 4 Таким образом, задаваясь

плечом, можно определить R , и наоборот.

14

Теорема 4. Две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие равные моменты, статически эквивалентны.

Доказывать не будем, так как это практически является следствием двух предыдущих теорем.

Совокупность пар сил называется системой пар.

Теорема 5. Система пар сил, расположенных в одной плоскости, эквивалентна одной паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

равны по величине и противоположны по направлению, следовательно, это новая пара сил с моментом m = R Ч d , эквивалентным двум дан-

Условие равновесия пар сил. Так как взятую систему пар сил, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной парой, то для равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю.

n

е mi = 0 .

i =1

Момент силы относительно центра

Пусть даны сила F и точка O. Опустим из точки O перпендикуляр

на линию действия силы F . Перпендикуляр h называется плечом дей-

ствия силы F .

Моментом силы относительно произвольно выбранного центра называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор самой силы.

Величина момента силы F относительно центра (точки) O равна

Знак «+» берется в случае, если мысленный поворот тела от действия силы происходит против часовой стрелки, знак «–» – по часовой стрелке.

Точка (центр), относительно которой определяется момент силы, называется моментной.

Момент силы относительно точки равен нулю, если плечо силы равно нулю ( h = 0 ), т.е. моментная точка лежит на линии действия силы.

Плоская система сил

Теорема Пуансо о параллельном переносе силы. Всякая сила,

приложенная в данной точке A, эквивалентна той же самой силе, приложенной в другой точке B, и паре сил с моментом, равным моменту силы, приложенной в точке A, относительно точки B.

16

Эта теорема позволяет привести все силы, действующие в плоскости, к одному центру.

Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру

Выберем точку O и назовем ее центром. Пользуясь предыдущей теоремой, перенесем все силы, действующие на тело, в точку O (рис. 7). Получим систему сходящихся сил и некоторое количество пар. Сложив

полученную систему сил по известному правилу силового многоуголь-

ника, получим одну силу F , называемую главным вектором системы.

Складывая пары сил, получим результирующую пару с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар. Обозначив момент результирующей пары через m, а моменты слагаемых пар –

n

через m1, m2 , , mn , имеем m = е mi , однако ранее доказано, что

i =1

m1 = m0 (F1 ),

m2 = m0 (F2 ),

m2 = m0 (Fn ).

17

Направляющие косинусы определяют направление главного вектора:

cos(F, x) = FFx , cos(F, y) = FFy .

Теорема Вариньона. Момент равнодействующих сил, расположенных в одной плоскости, относительно некоторой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проанализируем характер распределения площадей (рис. 8):

( ) = =

m0 F1 F1 p1 две площади m0 (F2 ) = = две площади

m0 (R) = = две площади ADO .

Рис. 8

где знак «+» следует понимать в алгебраическом смысле.

Уравнения равновесия плоской системы сил

Теорема 6. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы были равны нулю:

Для равновесия произвольной плоской системы необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Данную форму уравнений равновесия плоской системы сил часто называют первой формой. Уравнение равновесия можно выразить и в других формах.

Приведем вторую форму уравнений равновесия плоской системы сил.

Теорема 7. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно двух произвольных точек равнялась нулю и чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось, не перпендикулярную к прямой, соединяющей эти центры, равнялась нулю.

еmA(Fi ) = 0, еmB (Fi ) = 0, еFiy = 0.

Приведем третью форму уравнений равновесия плоской системы сил.

20