Красюк конспект лекций

Механические системы также делятся по виду связей на голономные и неголономные.

Задача. Колесо катится по рельсу, при этом

Проинтегрировав, получим ХС= R , следовательно, связь является голономной. Она также является геометрической, кинематической, дифференциальной и интегрируемой.

Удерживающие (двусторонние) связи препятствуют перемеще-

нию точек в противоположных направлениях (рис. 2). Неудерживающие (односторонние) связи препятствуют перемещению точек в одном направлении.

Рис. 2

Возможные (виртуальные) перемещения

Возможными перемещениями называются бесконечно малые перемещения системы, допускаемые связями, существующими в этой системе.

Представим механическую систему (рис. 3) и сообщим ей возможное перемещение. Отдельные точки этой системы получают ничтожно малые перемещения, которые и называются возможными. Они представляют собой дуги траекторий. Известно, что, рассматривая элементарное перемещение как величину первого порядка малости, можно заменить криволинейное перемещение точки прямолинейным.

Следует различать действительное перемещение dr движущейся точки, которое она совершает за время dt, и возможное перемещение r , которое точка не совершает, а только могла бы совершить, не разрушая наложенных на нее связей.

112

Число степеней свободы

Представим себе стержень АВ на неподвижной оси вращения О (рис. 3). Чтобы однозначно определить положение всех точек, очевидно, достаточно задать закон изменения угла поворота стержня. Возьмем кривошипный механизм. Здесь положение всех точек определяется тоже заданием одного угла поворота кривошипа.

Рис. 3

Теперь представим центробежный регулятор, вращающийся вокруг вертикальной оси (рис. 4). Для того чтобы вполне определить положение любой точки, необходимо задать две величины – угол и угол . Или, например, рассмотрим материальную точку, находящуюся на плоскости. Для задания ее положения в двух взаимно перпендикулярных направлениях необходимо задать координаты x и y. Эти системы обладают двумя степенями свободы.

Вообще, если положение всех точек системы вполне определяется заданием K независимых величин, то говорят,

что система имеет K степеней свободы.

Число независимых между собой возможных перемещений механической системы на-

зывается числом степеней свободы этой системы.

У свободной точки три степени свободы – вдоль координат х, у, z. У свободного твердого тела – шесть степеней свободы: три линейных перемещения вдоль осей х, у, z и три поворота относительно этих трех осей.

113

Идеальные связи

Представим механическую систему, состоящую из материальных точек M1, M 2 ,..., Mi ,..., M n (рис. 5). Пусть каждая точка этой системы

подчинена двусторонней связи. Реакции связей обозначим через R1, R2,..., Rn . Сообщим системе какое-либо возможное перемещение. Перемещения точек системы обозначим через r1, r2 , rn . Вычис-

Докажем, что если механическая система с идеальными связями находится в равновесии под действием приложенных сил, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство

е AKa = 0

равновесии, а следовательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точки равна нулю:

AKa + AKR = 0 .

114

Составив такие равенства для всех точек системы и сложив их почленно, получим

е AKa + е AKR = 0 .

Но так как связи идеальные, второе слагаемое равно нулю, тогда равна нулю и первая сумма.

Принцип возможных перемещений

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю:

е(Fkxa xk + Fkxa yk + Fkxa zk ) = 0 .

Этот принцип позволяет исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

Равновесие рычага (золотое правило механики)

115

Если рычаг находится в равновесии под действием двух сил, то возможные перемещения точек приложения сил обратно пропорциональны этим силам. Это можно сформулировать так: то, что выигры-

вается в силе, теряется в скорости (золотое правило механики).

Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики)

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики при решении задач динамики. Следовательно, применение этих принципов одновременно позволит получить общий метод решения

задач динамики.

Пусть дана система материальных точек

А1, А2,..., Аn (рис. 7).

Если ко всем точкам системы приложить кроме действующих на них активных сил и

Рис. 7

бера система будет находиться в равновесии. В соответствии с принципом возможных перемещений

е Aka + е AkЏ + е AkR = 0 .

Если связи идеальные, то последняя сумма равна нулю:

е Aka + е AkЏ = 0 .

Это и есть принцип Даламбера–Лагранжа:

при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Уравнение, выражающее этот принцип, называют общим уравнением динамики. В аналитической форме оно имеет вид

е[(Fkxa + Fkxи ) xk + (Fkya + Fkyи ) yk + (Fkza + Fkzи ) zk ] = 0 .

116

Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнения нужно к действующим на каждое тело активным силам прибавить в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра, а затем применить принцип возможных перемещений.

Задача. В подъемнике, изображенном на рис. 8, к шестерне 1, имеющей массу m1 и радиус R1, приложен вращающий момент М. Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q , пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общая масса равна m2, радиус инерции равен i2, радиусы шестерен равны соответственно R1 и R2.

Решение. Обозначим на рисунке все активные силы (в данном

случае это силы тяжести тел) и применим к системе принцип Да-

и

ламбера. Для этого к грузу 3 приложим силу инерции F3 и к дискам

1 и 2 – моменты сил инерции М1и , М 2и . Теперь система находится в

равновесии и к ней можно применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа) (рис. 9). Для этого сообщим, например, грузу 3 возможное перемещения 3. Диски при этом получат перемещения 1 и 2. Согласно принципу Даламбера–Лагранжа сумма работ всех активных сил и всех сил инерции на возможном перемещении системы должна быть равна нулю. Следовательно:

M 1 - M1и 1 - M 2и 2 - F3и 3 - m3 g 3 = 0 .

117

Выразим все перемещения через 3. Для простоты решения задачи сначала скорости всех тел выразим через скорость груза 3. Так как связи дифференциальные и интегрируемые, то перемещения и ускорения тел будут подвержены тем же зависимостям:

Далее с учетом уже полученных зависимостей выразим моменты и силы инерции:

F3и = m3a3 ,

M 2и = J2 2 = m2i22 Ra3 ,

2

Полученные значения подставим в уравнение возможных работ. Далее,

118

Эти соотношения имеют место только в том случае, когда связи не зависят от времени. Возможно существование связей, изменяющихся с течением времени.

Задача 1. Нить маятника тянут за конец А с постоянной скоростью V (рис. 2). Пусть ОМ = l , тогда l = l0 -Vt ,

Очевидно, что в данной задаче декартовы координаты – не только функции обобщенной координаты , но и времени t. В этом случае имеем

xi = xi (q1, q2 ,..., qk ,t), yi = yi (q1, q2 ,..., qk ,t), zi = zi (q1, q2 ,..., qk ,t).

Связи, не зависящие от времени, назы-

ваются склерономными (или стационар-

Рис. 2 ными), а изменяемые с течением времени –

реономными (или нестационарными).

Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек: М1, М2, …,Мп, имеющую K степеней свободы (рис. 3). Обозначим ее независимые обобщенные координаты q1, q2,…, qk. Предположим, что к точ-

кам системы приложены силы F1, F2 ,..., Fn .

Чтобы вычислить обобщенную силу, дадим координате q1 ничтожно малое приращение q1, оставляя прочие координаты без изменения. Это изменение координаты q1 вызовет ничтожно малые перемещения 1, 2,…, п всех точек системы. Вычислим сумму работ сил

F1, F2 ,..., Fn на перемещениях 1, 2,…, п:

A1 = еFi i cos(F, ) = Q1 q1 . Рис. 3

120