Красюк конспект лекций
.pdf
Аналогично определяются моменты количеств движения относительно координатных осей:
Kx = еmx (mkVk ) , K y = еmy (mkVk ) , Kz = еmz (mkVk ) .
Впредыдущей лекции отмечалось, что количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движе-
ния. Ниже покажем, что главный МКД системы может рассматриваться как характеристика вращательного движения.
Кинетический момент вращающегося тела
Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z (рис. 2). Определим Kz. Возьмем точку K на расстоянии hk от оси. Она будет иметь скорость, равную
|
|
|
Vk = |
|
hk , |
|
|
||
где – угловая скорость тела. Тогда |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= m h2 . |
|
m (m V ) = m V h |
|
||||||||
|
z k |
k |
|
k |
|
k k |
k k |
|
|
Для всего тела |
|
|
|
|
|
|
|
||
K |
z |
= еm (m V |
|
) = е(m h2 ) . |
|||||
|
|
z |
k |
k |
|
k k |
|||
|
|
2 |
= JZ , то |
|
Рис. 2 |
||||
Так как еmk hk |
|
|
|||||||
|
|
|
Kz |
= J z . |
|
|
|||
Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.
Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси, то
Kz = J1z 1 + J2z 2 + + Jnz n .
91
Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы (теорема моментов)
Как было доказано для любой точки системы,
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
йm (mV )щ |
= m (F e ) + m (F i ) , |
|||||
|
|||||||
dt л |
0 |
ы |
0 |
k |
0 |
k |
|
где |
|
|
и |
|
|
– моменты внешних и внутренних сил. Соста- |
m (F e ) |
m (Fi ) |
|||||
|
0 |
k |
|
0 |
k |
|
вим такие уравнения для всех точек и, складывая их почленно, получим
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йеm (m V )щ |
= еm (F e ) |
||||
|
|
|
||||||
|
|
dt л |
0 k |
k |
ы |
0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как еm0 |
(Fki ) = 0 , то |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dK |
|
||
|
|
|
|
|
|
= еm (F e ) . |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dt |
|
0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ еm (Fi ) . |
|
0 |
k |
Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.
Проецируя уравнение на координатные оси, получим
|
dK X |
|
|
|
dKY |
|
|
dKZ |
|
|
|
= еm |
|
(F e ) , |
= еm (F e ) , |
= е m (F e ) . |
|||||
|
X |
|
||||||||
|
dt |
k |
dt |
|
Y k |
dt |
Z k |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Все сказанное в последних двух |
лекциях широко |
используется |
||||||||
при решении задач. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения может быть изучена с помощью теорем о движении центра масс или об изменении количества движения, а вращательная – с помощью теоремы моментов.
Для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс, теорема сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного
центра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dK |
C |
||
|
|
= еm (F e ) . |
||
|
|
|
||
|
dt |
C |
k |
|
|
|
|
||
92
Законы сохранения главного момента количеств движения
Из теоремы можно получить два следствия.
1. Если сумма моментов всех действующих внешних сил относительно данного центра равна нулю, то главный МКД относительно этого центра есть величина, постоянная по модулю и направлению:
|
|
|
|
еm0 |
(mkVk ) = 0 |
Ю K0 |
= const . |
2. Если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный МКД системы относительно этой оси будет величиной постоянной:
еmX (mkVk ) = 0 Ю K X = const .
Это и есть законы сохранения главного момента количеств движения, т.е. внутренние силы изменить главный МКД не могут.
Частный случай вращающейся системы
Пусть система вращается относительно оси, проходящей через центр масс, тогда Kz = J z . Если в этом случае еmz (mkVk ) = 0 , то
Kz = Jz = const .
Отсюда следует два вывода:
а) если тело абсолютно твердое (Jz = const), то и = const (неизменяемая система);
б) если система является изменяемой, то при увеличении момента инерции Jz угловая скорость 
будет уменьшаться, и наоборот (например, фигуристы в волчке, гимнасты при исполнении сальто, раскачивание качели и т. п.).
93
Л е к ц и я 13
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Работа и мощность силы. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия.
Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при его перемещении, существует понятие о работе силы.
Элементарной работой силы F, приложенной в точке М, называется скалярная величина
dA = F dS,
где F
– проекция силы на касательную к траектории (направление скорости) (рис. 1):
F
= F cos ,
тогда
dA = Fds cos .
При остром угле работа положительна (сила помогает движению); если угол – тупой, работа отрицательна (мешает движению); при 
= 90° работа равна нулю (не влияет на движение).
Если учесть, что |
dS = dr , где dr – вектор элементарного перемеще- |
|
ния точки, то элементарная работа равна ска- |
|
лярному произведению двух векторов: |
|
|
|
dA = Fdr . |
|
Элементарная работа силы равна скаляр- |
|
ному произведению вектора силы на вектор |
|
элементарного перемещения точки ее прило- |
Рис. 1 |
жения. |
|
94 |
Так как rx = x, ry = y, rz = z, аналитическое выражение работы: dA = Fxdx + Fydy + Fzdz .
Работа на любом перемещении – это предел интегрируемой суммы:
M1
A(M0M1) = т F ds ,
M0
M1
A(M0M1) = т (Fxdx + Fy dy + Fz dz) .
M0
В этих выражениях интеграл вычисляется вдоль кривой М0М1. Если величина F = const ,то
A(M0M1) = F s .
Единица измерения работы – 1 джоуль = 1 Н м. Графический способ вычисления работы:
S1
A(M0M1) = т F ds . Рис. 2
S0
Геометрический смысл работы – площадь, ограниченная осью S, кривой F (S) и ординатами силы F (рис. 2).
Мощность
Мощностью называется величина, равная работе, совершенной в единицу времени.
N = |
dA |
= |
F ds |
= F V . |
|
dt |
dt |
||||
|
|
|
Мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.
Если работа совершается равномерно, то
N = At .
95
Единица измерения мощности – 1 ватт = 1 Дж/с. В технике используется также единица, называемая лошадиной силой (л. с.):
1 л.с. = 736 Вт.
В технике для измерения работы широко используется единица, называемая киловатт-часом:
1 кВт∙ч = 3,6 106 Дж.
Из равенства N = FV видно, что при движении в гору автомобиль, развивая ту же мощность, может увеличить силу тяги, уменьшив скорость. Поэтому и включают пониженную передачу.
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫ
1. Работа силы тяжести. Пусть точка М под действием силы тяжести перемещается из положения М0 в положение М1 (рис. 3).
|
|
|
Z1 |
Z1 |
|
A(M |
0 |
M ) = |
т Fz dz = |
т |
-Pdz. |
|
1 |
Z0 |
Z0 |
|
|
|
|
|
|
Если М0 расположена выше М1, то Z0 – Z1 = h, где h – вертикальное перемещение точки; если точка перемещается вверх, то Z0 – Z1 = – h, следовательно,
A(M0M1) = ±Ph .
Работа силы тяжести не зависит от траектории движения точки, т.е. сила тяжести является потенциальной.
Рис. 3 |
Рис. 4 |
96
2. Работа силы упругости. Рассмотрим груз М, лежащий на плоскости и прикрепленный к свободному концу пружины (рис. 4). Здесь
l0 – длина свободной пружины; l – длина растянутой пружины; = l - l0 – удлинение пружины.
Так как = x , a Fx = -cx (по закону Гука), то
x
A(M0M1) = т1 (-cx)dx = 2c (x02 - x12 ).
x0
Этот же результат можно получить графически.
Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинения.
Формула справедлива и тогда, когда перемещение груза не является прямолинейным, т. е. не зависит от траектории, следовательно, сила упру-
гости тоже является потенциальной.
3. Работа силы трения. Пусть точ-
ка движется по шероховатой поверхности по кривой М0М1 (рис. 5). Известен коэффициент трения fтр. Поскольку
F = -Fтр = - fтр N , |
|
|
Рис. 5 |
||
|
|
|
|
|
|
где N – нормальная реакция поверхно- |
|||||
сти, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
M1 |
|
A(M |
0 |
M ) = |
т |
Fтрds = т fтр Nds . |
|
|
1 |
M0 |
M0 |
||
|
|
|
|||
Если сила трения постоянна, то |
|
|
|||
|
|
A(M |
M ) = -Fтрs , |
||
|
|
|
0 |
|
1 |
где S – длина дуги кривой.
Таким образом, работа силы трения скольжения всегда отрицательна. Так как сила трения зависит от длины дуги (от траектории), то является непотенциальной.
97
4. Вычисление работы сил, приложенных к вращающемуся телу. Элементарная работа
где dS = hd
Рис. 6
dA = F
dS = F hd ,.
(рис. 6).
Так как произведение F h = M z ( M z – вращающий момент), то
dA = M z d .
Интегрируя, получим
A = т1 M zd .
0
В случае постоянного момента
A = M z 1 .
Работа при вращательном движении равна произведению вращающего момента на угол поворота тела.
Определим мощность:
N = |
dA |
= M |
d |
= M . |
|
dt |
dt |
||||
|
|
|
Мощность при вращательном движении равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела.
Кинетическая энергия точки
Кинетической энергией материальной точки называется скалярная
mV 2
величина , равная половине произведения массы точки на квад-
2
рат скорости.
Единица измерения кинетической энергии – 1 джоуль (та же, что и для измерения работы).
98
Пусть точка массой m перемещается из положения М0 |
со скоро- |
|||||||||
стью V0 в положение М1 , где ее скорость будет V1. |
|
|||||||||
Известно, что ma = |
Fk . Проецируя равенство на ось |
, получим |
||||||||
ma = е Fk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим тангенциальное ускорение a в виде |
|
|||||||||
|
a |
= |
dV |
|
= |
dV ds |
= V |
dV |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
ds dt |
|
ds |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mV |
dV |
= е F |
Ю mVdV = е F ds , |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
ds |
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно,
mVdV = еdA Ю d ж mV 2 ц = еdA .
зи 2 чш
Проинтегрировав это выражение в пределах от М0 до М1 , получим
mV 2 |
|
mV 2 |
|
|
1 |
- |
0 |
= е A |
. |
|
|
|||
2 |
|
2 |
(M0M1) |
|
Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Эту теорему называют теоремой об изменении кинетической энергии точки в конечном виде.
При несвободном движении точки в правую часть равенства войдет работа заданных сил и реакций связей.
Кинетическая энергия системы
Кинетической энергией системы называется скалярная величина,
равная сумме кинетических энергий всех точек системы:
T = е mkVk2 . 2
99
Вычислим кинетическую энергию при различных видах движения твердого тела.
Поступательное движение. В этом случае все точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс – Vk = Vc .
|
|
m V |
2 |
|
|
V 2 |
|
|
||||
T = е |
k |
c |
= еm |
c |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MV 2 |
|
|
|
|||
|
|
T = |
|
|
|
c |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вращательное движение. Пусть тело вращается относительно оси |
||||||||||||
Оz с угловой скоростью , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Vk |
= |
hk , |
|
|
|
|||||
где hk – расстояние от точки до |
оси вращения; |
– угловая скорость. |
||||||||||
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mk |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||
T = е |
|
hk |
|
|
|
= (еmk hk2 ) |
|
, |
||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следовательно,
T = JZ 2 . 2
Плоскопараллельное движение. При этом движении все точки те-
ла совершают вращательное движение вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, следовательно,
T = JP 2 , 2
где J P – момент инерции тела относительно оси, проходящей через
мгновенный центр скоростей. Это величина переменная, так как положение мгновенного центра скоростей (точки Р) в каждый момент времени меняется. Выразим J P через JС (момент инерции относи-
100