Красюк конспект лекций

Пусть эта работа равна произведению некоторого множителя Q1 на приращение координаты q1. Поступая аналогично, найдем Q2,…,Qk ,соответствующие координатам q2,…, qk:

AK = QK qK .

Обобщенная сила – это величина, равная коэффициенту при приращении обобщенной координаты в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Не следует считать, что обобщенная сила всегда имеет размерность – ньютон. Работа всегда вычисляется в джоулях (1 Дж = 1 Н м).

В механической системе с идеальными связями обобщенные реакции связей всегда равны нулю, поэтому при переходе к обобщенным силам реакции связей автоматически выпадают из расчетов. В этом большое преимущество методов Лагранжа.

Примеры вычисления обобщенной силы

К барабану 1 радиуса R приложен момент М , под действием которого осуществляется подъем груза 2 (рис. 4). Массы барабана и груза

щении:

е A = M - m2 gR = (M - m2gR) .

Рис. 4

121

Работа от веса барабана равна нулю, так как ось его вращения не перемещается. Тогда обобщенная сила равна

Q = M - m2 gR .

Другой пример. Пусть система материальных точек М1, М2, М3, …, Мп имеет k степеней свободы. Обозначим ее обобщенные координаты q1, q2,…, qk. Возьмем декартовы оси x, y, z и обозначим координаты точки Мi через xi , yi , zi . Координаты являются функциями обобщенных ко-

ординат и времени:

Рассуждая аналогично и поделив обе части равенства на q, получим

122

Условие равновесия системы в обобщенных силах

Согласно принципу возможных перемещений необходимым и достаточным условием является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы е Аi = 0 , тогда

Q1 q1 + Q2 q2 + Q3 q3 + ... + Qk qk = 0 .

Так как обобщенные координаты q1, q2 ,..., qk не зависят друг от

друга, равенство выполнимо только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю, т.е

Q1 = 0, Q2 = 0,...,Qk = 0 .

Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю.

Уравнения Лагранжа

Для определения уравнений движения в обобщенных координатах обратимся к общему уравнению динамики:

е Аia + е Aiи = 0 .

Пусть система имеет k степеней свободы. Тогда

е Aia = Q1 q1 + Q2 q2 + Q3 q3 +... + Qk qk ,

е Aiи = Q1и q1 + Q2и q2 + Q3и q3 +... + Qки qk .

123

Подставляя эти уравнения в общее уравнение динамики, получим

(Q1 + Q1и ) q1 + (Q2 + Q2и ) q2 + (Q3 + Q3и ) q3 +... + (Qk + Qkи ) qk = 0

или

Q1 + Q1и = 0, Q2 + Q2и = 0, Q3 + Q3и = 0,... Qk + Qkи = 0 ,

124

Полученные выражения подставим в уравнение (2):

Тогда уравнение (1) примет вид

где Т – кинетическая энергия.

Аналогичные выражения получаем для всех остальных обобщен-

Это дифференциальные уравнения движения системы в обобщен-

ных координатах или уравнения Лагранжа второго рода (уравнения в частных производных). Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.

Основные преимущества использования уравнений Лагранжа при решении задач:

–количество уравнений не зависит от количества тел, входящих в систему;

–данный способ позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные реакции связей.

125

Задача 2. Механизм робота-манипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального перемещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со схватом 3 (рис. 5). Массы звеньев механизма т1, т2 и т3.

Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F01, F12 и F23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.

Решение. Рассматриваемая механическая система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты:

q1 = z, q2 = y, q3 = x ,

тогда обобщенные скорости выразятся как

q1 = z, q2 = y, q3 = x.

Вычислим кинетическую энергию системы. Так как звенья 1, 2 и 3 двигаются поступательно, запишем

Вычислим частные производные от кинетической энергии:

126

Далее, дифференцируя по времени, получим

Az = [F01 - (m1 + m2 + m3 )g] z .

Многочлен, стоящий в квадратных скобках, является обобщенной силой:

Qz = F01 - (m1 + m2 + m3 )g .

Аналогично вычислим обобщенные силы Qy и Qx :

Ay = F12 y

тогда

Qy = F12 .

Силы тяжести не совершают работу, так как движение вдоль оси y происходит по горизонтали, поэтому

Ax = F23 x ,

откуда Qx = F23 .

Запишем полученные дифференциальные уравнения движения:

(m1 + m2 + m3 )z = F01 - (m1 + m2 + m3 )g, (m2 + m3 ) y = F12 ,

m3x = F23.

127

Силы, при действии которых происходит удар, будем называть

ударными силами Fуд . Очень малый промежуток времени , в течение

которого происходит удар, назовем временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры взаимодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их импульсы, которые называют ударными импульсами. Величина ударного импульса определяется равенством

Этот результат выражает теорему об изменении количества движения точки при ударе: изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме действующих на точку ударных импульсов.

Уравнение (2) является основным уравнением теории удара. Отметим, что перемещение точки за время удара будет равно

V ср , где V ср – среднее значение скорости за время . Так как

очень мало, это перемещение будет также величиной очень малой, которой практически можно пренебречь. Итак, из всех полученных результатов вытекает следующее:

1)действием неударных сил (таких, например, как сила тяжести) за время удара можно пренебречь;

2)перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным;

3)изменение скоростей точек тела за время удара определяется основным уравнением теории удара (2).

129

Общие теоремы теории удара

Теорема об изменении количества движения системы при уда-

ре. Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Обозна-

чим равнодействующую внешних ударных импульсов, приложенных в

e

точке с массой тk, через Sk , а равнодействующую внутренних удар-

i

ных импульсов – через Sk . Тогда по уравнению (2)

- = e + i m (u v) Sk Sk .

Составляя подобные уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим

щая справа сумма внутренних ударных импульсов по свойству внут-

т. е. изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.

В проекциях на оси координат уравнение (3) дает

Если геометрическая сумма всех внешних ударных импульсов равна нулю, то, как видно из уравнения (3), количество движения системы за время удара не изменяется. Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить количества движения всей системы.

130