Время выхода частицы из потенциальной ямы

Частица может выйти из потенциальной ямы глубиной А благодаря тепловому движению. Получим характерное время выхода τ.

По определению плотности потока для одной частицы получаем

.

Сравниваем с

, (П.5.12)

получаем

, (П.5.14)

₀ – характерное время выхода при .Закон Аррениуса – время выхода возрастает экспоненциально с ростом глубины ямы.

Распределение Больцмана

Рассматривается распределение частиц идеального газа по координатам. В отсутствии внешнего поля все точки объема с газом равновероятны.

Во внешнем потенциальном поле частица имеет потенциальную энергию и на нее действует сила

,

направленная в сторону быстрейшего уменьшения . Сила перемещает частицы газа в направлении, где их энергия меньше, но их разбрасывает тепловое движение. Конкуренция этих тенденций создает равновесное распределение концентрации частиц.

Получение распределения

Используем каноническое распределение с гамильтонианом частицы

.

Слагаемые с импульсами и координатами разделены, поэтому разделяются распределения по импульсам и координатам

.

Для координат получаем распределение Больцмана

(2.55)

– вероятность обнаружения частицы в элементе объема;

–число частиц в элементе объема ;

N – число частиц в объеме V;

–потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Нормировка вероятности

дает

,

тогда

. (2.55а)

Если потенциальная энергия не зависит от x и y, тогда , интегрируем (2.55а) поx и y, находим вероятность обнаружения частицы в интервале :

; (2.55б)

–плотность вероятности, т. е. вероятность обнаружения частицы в единичном интервале около z;

N –число частиц в объеме V;

(2.56)

– число частиц в интервале .

Мысленно выделяем в объеме газа цилиндр с поперечным сечением , образующей вдоль z, и числом частиц . В интервале число частиц

,

концентрация

. (2.56а)

ФормулА Больцмана

Особенности объекта. Газ в однородном поле тяжести. Сила mg, действующая на частицу, направлена вниз. Тепловая энергия раскидывает частицы по разным высотам. Концентрацияуменьшается с высотойz.

Количественное описание. Потенциальная энергия частицы в поле тяжести

,

m – масса частицы. Для концентрации получаем из (2.56а) формулу Больцмана

, (П.6.1)

–концентрация при .

Если N частиц заполняют цилиндр 0  z <  с поперечным сечением , тогда вероятность обнаружить частицу в интервале

, (П.6.2)

где

;

.

Концентрация около точки z

.

Площадь под кривой равна N.

Среднее положение частицы

,

где использовано

, (5.6.2)

.

Число частиц в цилиндре

.

Для средней потенциальной энергии частицы с учетом находим

.

Результат следует также из теоремы о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Для одной степени свободы

, (2.38)

. (2.39)

Для потенциальной энергии подставляем .

Частные значения. При t = 0С для воздуха  = 29 кг/кмоль получаем км. Число частиц в столбе воздуха с единичным поперечным сечением выражаем из, тогда при Р = 760 мм р.с. находим

.

Число Лошмидта – концентрация молекул у поверхности земли

.