![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Линейные пространства
- •Некоторые свойства произвольных линейных пространств.
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •Действия над векторами в координатной форме.
- •Замена базиса
- •Евклидовы пространства.
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Норма вектора. Нормированное пространство
- •Ортонормированный базис конечномерного Евклидового пространства
- •Ортогональные матрицы и их свойства
- •Линейные операторы.
- •Действия над линейными операторами
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора
- •Собственные числа и собственные векторы
- •Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов
- •Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
Ортогональные матрицы и их свойства
Рассмотрим теперь,
какими свойствами обладает матрица
перехода от одного ортонормированного
базиса к другому в евклидовом пространстве.
Вспомним перехода от одного базиса к
другому: если
,
то
.
Матрицу АТ
мы называли матрицей перехода от одного
базиса к другому. Столбцы этой матрицы
представляют собой координаты векторов
в базисе
.
Введем сначала определение: матрица Т с вещественными коэффициентами называется ортогональной, если Т’ = T-1 – транспонированная матрица равна обратной. Т.е. Т Т’ = T’ T = E. Отсюда следует det (T T’) = det T det T’ = det E = 1 или det T = 1.
Обратная матрица T-1 также ортогональна:
,
или
.
Запишем еще свойства ортогональной матрицы, вытекающие из того, что
,
или:
или:
сумма квадратов элементов какой – либо
строки (или столбца) равна 1, а сумма
произведений соответствующих элементов
разных строк (столбцов) равна 0.
Предположим, имеем
два ортонормированных базиса в евклидовом
пространстве:
и
.
Если
,
то координаты некоторого вектора Х в
старом базисе х и новом х’ связаны
соотношением:
,
где АT
– матрица перехода.
Теорема: матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.
Доказательство: положим имеем два вектора
Запишем матрицы – столбцы координат этих векторов:
Скалярное произведение этих двух векторов:
,
или, в матричной записи:
(*)
Если матрица
перехода от одного базиса
к другому
естьS,
то:
X = S X1 ; Y = S Y1
Подставим в (*):
Отсюда STS = E или ST = S-1. Т.е. матрица S – ортогональная.
К примеру, матрица, осуществляющая поворот осей координат в одной из предыдущих лекций – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Она является ортогональной.
detT = 1, T-1
= T` =
Линейные операторы.
Пусть L1и L2– линейные
пространства, размерности которых
соответственно n и m. Будем называть
оператором,
действующим из L1в L2отображение L1L2, если задан закон, по которому
каждому векторуxL1ставится в соответствие
единственный векторyL2. При этомуназывается образомх, ах– прообразомудля
оператора
.
Обозначаем преобразованиеу=
х.
Оператор
представляет собой в некотором смысле
обобщение известного из анализа
определения функции на случай, когда
областью задания функции является
произвольное линейное пространство
L1, а область значений принадлежит
пространству L2.
Оператор
будем называть линейным, если для любых
элементовх1, х2пространства L1и любого вещественного
числавыполняются
два условия:
10(х1+ х2) =
х1+
х2(свойство аддитивности оператора).
20(х) =
х (свойство однородности оператора).
Если пространство образов L2совпадает с пространством прообразов L1, то линейный оператор в этом случае отображает пространство само в себя. Такой оператор называют такжелинейным преобразованиемпространства.
Действия над линейными операторами
Во множестве всех операторов, действующих из L1в L2можно определить операции суммы таких операторов и умножения на скаляр:
а) суммой двух операторов
и
назовем оператор (
+
),
для которого (
+
)
х =
х
+
х;
б) произведением оператора
на скалярназовем
оператор
,
для которого (
)
х =(
х);
в) нулевым оператором 0 назовем оператор, который действует по правилу 0х = 0 для любогох;
г) для каждого оператора
определим противоположный оператор -
посредством соотношения -
= (-1)
.
Тогда множество всех линейных операторов М(L1, L2) с указанными выше операциями и с выбранными нулевым и противоположным оператором образует, очевидно, линейное пространство.
Рассмотрим свойства множества операторов М(L,L), т.е. операторов, действующих из L в L (пространство само в себя).
Назовем единичным оператор
,
действующий по правилу
х
= х.
Введем понятие произведения линейных
операторов из множества М(L, L)
и
по правилу: (
)
х =
(
х
). Отметим, вообще говоря, что
.
Введя эти два определения, можно
определить обратный оператор для данного
оператора
:
если
=
=
.
В этом случае оператор
называется обратным оператору
и обозначается
-1.
Из определения оператора
-1следует, что для любогохV выполняется соотношение
-1
х
= х.
Будем говорить, что линейный оператор
действует взаимно однозначно, из L в L,
если любым двум различным х1и х2отвечают различные
х1и
х2.
Отметим без доказательства, что для
того, чтобы линейный оператор
из М(L, L) имел обратный, необходимо и
достаточно, чтобы этот оператор действовал
взаимно однозначно из L в L.
Введем понятие ядра и образа линейного оператора.
Ядром линейного оператора
называется множество всех тех элементовх пространства L, для которых
х
= 0.
Ядро обозначается символом ker
.
(привести пример – система линейных
однородных уравнений).
Если ker
= 0, то оператор
действует взаимно однозначно из L в L.
Действительно, в этом случае если
х
= 0, то х = 0. Или у1=
х1,
у2=
х2.
Если у1= у2, то у1– у2= 0 =
х1-
х2=
(х1– х2)х1– х2= 0.
Условие ker
= 0 является необходимым и достаточным
для того, чтобы оператор
имел обратный.
Образом линейного оператора
назовем множество всех элементов у
пространства L, представляемых в виде
у =
х.
Образ обозначается символом im
(отличается от Im, используемого для
обозначения мнимой части z).
Очевидно, что если ker
= 0, то im
= L и наоборот. Очевидно, что ядро и образ
линейного оператора
являются линейными подпространствами
пространства L. Поэтому можно говорить
о размерности dim (ker
)
и dim (im
).
Запишем без доказательства следующую теорему:
Пусть размерность пространства L равна
n и пусть
- линейный оператор из M(L, L). Тогда dim (ker
)
+ dim (im
)
= n.