Действия над векторами в координатной форме.

Если в линейном n – мерном пространстве заданы два вектора ;то на основании аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения, будем иметь:

Рассмотрим линейную комбинацию векторов:

, (*)

где

Если координаты вектора есть, то имеем систему уравнений:

(**)

Рассмотрим матрицу этой системы. Ее столбцы – координаты векторов x₁ x₂ … x_n. Если предположить, что в равенстве (*) вектор у равен 0, то мы будем иметь линейную зависимость векторов . Чтобы система (**) имела ненулевое решение ( когда y_i = 0, i = 1, … , n) ненулевое решение! – необходимо (из предыдущего материала) чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных m. Или, с другой стороны, вектора линейно независимы, когда ранг матрицы (**) равен числу векторов.

Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства – есть размерность пространства – и это же число является рангом некоторой системы векторов (*). Обратимся к примеру: найти размерность и базис пространства, являющегося линейой оболочки векторов: x₁ = ( 0, 2, -1 ) x₂ = ( 3, 7, 1 ) x₃ = ( 2, 0, 3 ) x₄ = ( 5, 1, 8 ).

Вычислим ранг системы этих векторов:

Базисом могут служить три линейно независимых вектора. А это векторы x₁ x₃ x₄, поскольку x₂ – их линейная комбинация.

На основе вышесказанного можно сделать вывод: ранг системы векторов равен рангу матрицы из координат этих векторов в некотором базисе.

Замена базиса

Рассмотрим линейное преобразование координат некоторого вектора при смене базиса. Предположим, что мы имеем два базиса произвольного n – мерного пространства и. Очевидно, координаты векторов одного базисаможно выразить через другой базис:

(*)

В матричном виде:

где матрица А – это матрица, связывающая новый базис е_i^’ со старым e_i.

Рассмотрим некоторый вектор

Подставим здесь вместо их выражения из (*):

Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых векторах , приходим к системе уравнений:

или в матричном виде

Матрица А^Т, транспонированная к А, называется матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцами этой матрицы являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Очевидно, обратный переход есть: x^’=(A ^–1)^Tx

Вывод: если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы А, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью транспонированной обратной матрицы.

Пример: в пространстве V₃ имеем два базиса:

1. 

2. 

Найти координаты в базисе. Т.е.. Матрица перехода от базисак базисуесть:

Матрица S невырожденная, т.е. система векторов образует базис.

Имеем . Отсюда. Запишем без вычислений, что. Тогда.

Т.е.

В заключении рассмотрим пространства решений линейной однородной системы. Если решений множество, то известно, что сумма каких-либо решений тоже является решением и произведение каких-либо решений на число тоже является решением. Аксиомы 1⁰ – 8⁰ тоже выполняются. Т.е. множество решений линейной однородной системы являются линейным пространством. Существует теорема: размерность пространства решений линейной однородной системы уравнений с n неизвестными равна n-r, где r – ранг матрицы системы.

X = C_r+1X₁+ C_r+2X₂+ … + C_nX_n-r

Это означает, что решения X₁ … X_n-r – линейно независимы и их можно принять за базис пространства решений. Любой базис решений называется фундаментальной системой решений.